Galois è stato un celebre matematico, che i più conoscono per questioni annesse ai polinomi.
Vorrei provare però a farvelo conoscere per spiegare un concetto ben più famigerato.
La letterina "i" (talora "j") usata per indicare l'unità immaginaria nel campo dei Complessi.
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Chiunque abbia ottenuto un diploma si è scontrato con i numeri complessi. Abbiamo N,Z, Q, R intuitivamente facili da comprendere. Troppo barbaramente si sbriga la faccenda dicendo C e' R con l'aggiunta di "i":
i^2 =-1
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La cosa lascia interdetti i più. E il nome di "i" detta unità immaginaria non aiuta.
Voglio mostrarvi un modo semplice, che non richiede alcun pre-requisito per spiegarne le origini e insegnarvi a creare il vs. personale campo dei complessi.
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Useremo solo due concetti:
- lo ZERO (puntata di oggi)
- estensione algebrica di Galois (vedrete è come un gioco enigmistico o poco meno).
Ah, questa branca della matematica si chiama matematica discreta!
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Cos'e' lo zero?
Lo zero è un elemento che se messo in una operazione restituisce ancora l'elemento stesso:
sia • un simbolo per definire una operazione qualsiasi:
x• 0 = x
Se • è la somma, e consideriamo :
il nostro 0 e' proprio lo 0.
Occhio lo 0 può essere un 1 :)
ok, ora sappiamo cos'è lo zero.
Costruiamoci un nostro mondo di elementi, e inventiamoci una operazione.
Un mondo piccolo, fatto solo di 2 elementi.
Che ci potremo mai fare con 2 elementi e un'operazione stupida come una "specie di somma"?
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vabbè ho mentito, ho usato anche la parola polinomio...ma quella, dai la spiegate voi a me!
...riflettiamo un po' sulle 2 stupidate che ho scritto.
Domani Galois, vi dimostrerà che era davvero un genio.
Morto stupidamente a 20 anni.
Per un duello.
A domani!
Ieri abbiamo posto le basi per capire l'elemento 'unità immaginaria'.
Oggi completiamo il giretto di giostra :)
-> un'ultima nota ci serve.
Il piccolo mondo Z2 è un campo algebrico. Della definizione di campo ci importa solo una condizione (beh siamo su TW):
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Quando facciamo una operazione tra elementi di Z2 vogliamo che il risultato sia ancora un elemento di Z2.
Come vedete dalla tabellina di ieri: è proprio così.
-> Questo passaggio ci serve: se estendiamo Z2 con nuovi elementi, dobbiamo essere sicuri di rispettare tale regola
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Come in R, il polinomio X^2+1 =0 non ha soluzioni (ovvero non esiste nessun numero reale - per quanto infiniti - che renda vera l'equazione), anche in Z2 non ci sono elementi per cui sia vera X^2+x+1 =0.
Che si fa?
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Aggiungiamo un elemento per cui sia vera!
Beh a noi invero ne servono 2!
X, e X+1 (che per comodità chiamiamo Y)
Figo, ora con X e Y posso dire che ho tutti gli ingredienti per risolvere il problema.
Dobbiamo però dimostrare una cosuccia.
Se aggiungo X e Y a Z2, Z2 è ancora un campo? Ovvero usando la ns +, il risultato è ancora in Z2 (cioè è in {0,1,X,Y})?
SI!
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Come ci dimostra la tabella:
1) Z2 esteso, risolve il problema dell'equazione.
2) Z2 esteso, preserva le caratteristiche algebriche di Z2 (ovvero è ancora un campo).
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NOTA A MARGINE
Per semplificare il concetto, avendo trattato solo la somma,
ho deliberatamente chiamato l'unità bilatera come ZERO.
-> nei libri troverete che lo ZERO si chiama UNITÀ.
Perchè? se V è unità rispetto al prodotto:
x*V = x. ...in N,Q,R,C ... V = 1 -> l'unità!
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ecco perchè si chiama unità immaginaria.
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