Thread by @DrLutzBoehm

++Skandal: Viele Rezepte für die perfekte Weihnachtsgans sind falsch++

Wie lange muss die perfekte Gans im Ofen braten?

Tl;dr: Verdoppelung des Gewichts -> 1,58 Mal Röstdauer

Und was hat das #Verfahrenstechnik zu tun?

Ein Jubiläumsthread zu 6000+ Followern 👋
#WissKomm
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An #Weihnachten gibt es bei vielen die traditionelle Weihnachtsgans.

Das Problem ist nur: oft wird diese zu trocken, manchmal ist sie noch nicht richtig durch.

Denn das Schwierige ist, bei Gänsen die richtige Dauer zum Rösten zu wählen.

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Jede Gans hat ein unterschiedliches Gewicht und in vielen Kochrezepten steht so etwas wie "20min pro kg" oder ähnliches.

Demnach gibt es einen linearen Zusammenhang zwischen dem Gewicht und der Bratdauer.

Doppeltes Gewicht, doppelte Zeit.

Richtig? Falsch!

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Um den richtigen Zusammenhang zwischen dem Gewicht der Gans und der perfekten Röstzeit zu erhalten, nutzen wir ein Werkzeug aus der #Verfahrenstechnik:

Die Dimensionsanalyse!

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Ich leite hier keine großen Gleichungen her, versprochen.

Es geht vor allem um Proportionalitäten, also grundsätzliche Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen.

Erstmal also die Frage formulieren:
Wie hängt das Gewicht der Gans und seine perfekte Röstzeit zusammen?

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Die Grundlage für die Überlegungen sind die Größen der SI-Einheiten, auf die jede andere Einheit zurück zu führen ist. Länge in Metern [m], Zeit in Sekunden [s] usw.

Man kann auch Kombinationen dieser Größen verwenden, also z.B. ist eine Geschwindigkeit eine Länge pro Zeit

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Okay, fangen wir mal mit den einfachen Größen an:
- uns interessiert die Dauer des Röstens, also ist die erste Größe die Zeit t
- innerhalb der Gans muss eine gewisse Temperatur vorherrschen, also ist die zweite Größe die Temperatur T

Easy. Jetzt kommt etwas Physik

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Die zugeführte Wärme zur Gans kommt von außen auf die Oberfläche der Gans und wird dann nach innen transportiert.

Daraus folgt:
- die Größe der Oberfläche der Gans ist wichtig, bezeichnet mit A
und...

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…
- die Temperatur der Oberfläche ist relevant, da diese die Wärmeverteilung in der Gans mitbestimmt, T_O

Jetzt benötigt man tatsächlich ein bisschen Wissen, wie die Wärme innerhalb der Gans transportiert wird. Ich versuche, es simpel zu halten

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Entscheidend für den Wärmetransport innerhalb der Gans ist die Wärmeleitung in der Gans, k.

Die Wärmeleitung gibt, wie der Name schon sagt, vor, wie gut die Wärme innerhalb der Gans transportiert wird.

Für Interessierte hier ein Video

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Einfach gesagt, ist die Wärmeleitung in Metall sehr gut, weil es ein sehr kompaktes Material ist.

In Luft wird die Wärme schlecht geleitet, weil es als Gas sehr "dünn" ist, die Moleküle also weit auseinanderliegen.

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Das wird auch zB bei der Wärmedämmung von Häusern ausgenutzt, siehe folgenden Thread, der sich auch damit auseinadersetzt, warum es Schimmelbildung kommen kann.

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Weiter geht’s:
Dann ist noch die sogenannte Wärmekapazität, c_p, wichtig, die ein Maß dafür ist, wie viel Energie nötig ist, um die Temperatur eines Stoffes zu erhöhen.

So muss ich zB ca 1kJ Energie pro kg Luft aufwenden, um dessen Temperatur um 1 Kelvin zu erhöhen.

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Bei flüssigem Wasser muss ich 4x so viel Energie pro kg aufwenden, um dessen Temperatur um 1 K zu erhöhen.

Für die Betrachtung hier kann man diese Größen zur sogenannten Temperaturleitfähigkeit zusammenfassen.
a=k/(rho c_p)

rho ist die Dichte, also Masse pro Volumen
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Jetzt haben wir alle Größen, die für die Dimensionsanalyse relevant sind.
Zeit t, Temperatur T, Temperatur an der Oberfläche T_O, Oberfläche A, Temperaturleitfähigkeit a

Ziel dieser Analyse ist es, die Anzahl dieser Faktoren durch geschicktes Kombinieren zu reduzieren.

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Fangen wir einfach an:
Wir haben zwei Temperaturen, in der Gans und an der Oberfläche. Diese können wir aufeinander beziehen und erhalten so eine dimensionslose, d.h. einheitenlose Größe, die ich T* nenne:

T*=T/T_O

Aus zwei Größen haben wir damit schon mal eine gemacht

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Kombiniert man nun die restlichen Größen, Zeit, Oberfläche und Temperaturleitfähigkeit erhält man eine Größe, die man dimensionslose Zeit t* verstehen kann:

t*=a t/A

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Ohne genauer auf die Gleichung herzuleiten, können wir an dieser Stelle sagen:

Die dimensionslose Temperatur der Gans ist eine Funktion der dimensionslosen Zeit

T*=f(t*)

Wir haben aus 5 dimensionsbehafteten Größen nun 2 dimensionslose gemacht.

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Zur Erinnerung nochmal die Ausgangsfrage:
Wie hängt das Gewicht der Gans und seine perfekte Röstzeit zusammen?

Bei unterschiedlich schweren Gänsen muss T*, also das Verhältnis der Temperaturen, gleich bleiben, damit es innen nicht zu trocken und außen nicht zu heiß wird.

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Wenn T*=f(t*) ist, folgt daraus, dass die dimensionslose Zeit t*=at /A auch für unterschiedlich schwere Gänse gleich sein muss

Die Temperaturleitfähigkeit a enthält nur Stoffgrößen und daher nehme ich zur Vereinfachung an, dass diese bei unterschiedlichen Gänsen gleich ist
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Daraus folgt, dass sich t*=konst. zu t/A=konst. reduzieren lässt.

Jetzt gehen wir in die Betrachtung der Proportionalitäten:

Aus t/A=konst folgt, dass die Röstzeit t und die Oberfläche der Gans A direkt proportional zueinander sind

Doppelte Oberfläche, doppelte Röstzeit

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Viele Rezepte sagen, dass die Röstzeit t direkt proportional zur Masse der Gans M ist.

Ja was denn nun? Oberfläche der Gans oder Masse?

Dafür müssen wir die Proportionalität zwischen Masse und Oberfläche betrachten.

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Die Masse M kann berechnet werden aus der Dichte rho und dem Volumen.

M=rho V

Nehmen wir die Dichte der Gans als konstant und die Form der Gans als Kugel an, ergibt sich Folgendes:

Das Volumen ist proportional zu einer Länge (dem Durchmesser) L hoch 3, also V ∝ L³

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Die Oberfläche A ist proportional zu der Länge L hoch 2, also A ∝ L²

Umgekehrt folgt daraus, dass die Länge L proportional zur Fläche A hoch 1/2 ist, also L ∝ A^(1/2)

Setze ich das jetzt in obigen Zusammen zwischen der Masse under Länge ein, erhalte ich:

M ∝ A^(3/2)

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Nun kann ich auch dies umkehren und erhalte:

A ∝ M^(2/3)

Dies liefert mir nun den Zusammenhang für die Röstzeit und dem Gewicht der Gans

Für zwei Gänse 1 und 2 mit unterschiedlichem Gewicht gilt:

t_2/t_1 ∝ (M_2/M_1)^(2/3)

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In Worten ausgedrückt bedeutet das, dass sich bei Verdopplung des Gewichts eine eine längere Röstzeit um den Faktor 2^(2/3)=1,58 ergibt.

Diese Art der Dimensionsanalyse nutzt man an vielen Stellen der #Verfahrenstechnik

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Man macht Versuche im Labor im kleinen Maßstab und versucht daraus zu lernen, wie man mit diesen Informationen die realen Anlagen auslegen kann.

Mache ich im Labor Versuche im Reagenzglas, werde ich später kein 100m³ Reagenzglas als reale Anlage bauen.

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Wir sprechen hier von sogenannten Scale-up Regeln für die wir genau solche Dimensionsanalysen und dimensionslose Größen nutzen.

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Hier sieht man zB die Umströmung eines kleinen Zylinders und rechts sieht man die Wolkenformation Nahe Guadeloupe. Beide zeigen die gleiche Form der Umströmung bei komplett unterschiedlichen Skalen.

Ich kann also vom kleinen auf das Große schließen.

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Wir forschen auch in dem Bereich, untersuchen also zB das Mischverhalten kleiner Rührkessel und versuchen daraus zu lernen, wie man reale Anlagen mit hunderten Kubikmetern Größe auslegen und betreiben muss.

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Hier ein realer Rührkessel

Hier ist ein Review Artikel von mir, der sich mit dem Thema auseinandersetzt.

Vielleicht hat ja jemand Interesse:


31/doi.org/10.1002/cite.2…

Zu guter Letzt noch ein Hinweis, dass man auf naturwissenschaftlicher Basis noch sehr viel mehr mit einbeziehen kann, um die perfekte Weihnachtsgans zu braten.

Hier ein Video dazu, was darauf eingeht.


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Hier geklärt, wie sich das Gewicht zur Röstdauer für die perfekte Gans verhält, Dimensionsanalyse und was das mit Verfahrenstechnik zu tun hat.

Fragen? Kommentare?

Vielen Dank fürs Lesen.
Vielen Dank, dass ihr mir folgt und, wenn ihr es feiert:
Frohe Weihnachten!
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Und zurück zum Anfang, weil man das so macht. :-)

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Quellen:
Zlokarnik (2006) Scale-up in Chemical Engineering

(10.5.15)

35/endgithub.com/gladk/palabos

stainless-steel-world.net/continuously-s…