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Thread by @LGcommaI: " In honor of the of Felix Hausdorff (cf. as a meditation on the topic,I will now produce my own translatio […]" #europeanculture #sesquicentennial #BÜDIVP

, 54 tweets, 13 min read
#europeanculture
In honor of the #sesquicentennial of Felix Hausdorff (cf. ),and as a meditation on the topic,I will now produce my own translation of a famous article of his: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Mathematische Annalen. 75: 428–434.
..
..
#BÜDIVP-0.

I'll use a dedicated hashtag for the translation: #BÜDIVP-𝑛, with 𝑛 counting the sentences.
Hausdorff's article describes a discovery which nowadays goes by the name 'Hausdorff paradox'. It is considered a forerunner of the famous 'Banach-Tarski-Paradoxon'.
..
#BÜDIVP-1.
"Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen."
Tr.: 'Remark on the content of point sets.'
#BÜDIVP-2.
"Von F. Hᴀᴜsᴅᴏʀꜰꜰ in Greifswald"
Tr.: 'By F. Hᴀᴜsᴅᴏʀꜰꜰ in Greifswald'
#BÜDIVP-3.
"Bekanntlich haben E. Borel und H. Lebesgue das Problem der Inhaltsbestimmung von Punktmengen wenigstens eine Strecke weit 𝘢𝘹𝘪𝘰𝘮𝘢𝘵𝘪𝘴𝘤𝘩 zu behandeln versucht."
Tr.: 'It is know that E. Borel and H. Lebesgue have tried to treat the problem of determining..
.. contents of points sets 𝘢𝘹𝘪𝘰𝘮𝘢𝘵𝘪𝘤𝘢𝘭𝘭𝘺, at least to some extent.'
#BÜDIVP-4.
"Es soll jeder beschränkten Menge 𝐴 des
𝑛-dimensionalen euklidischen Raumes 𝐸ₙ
als Inhalt eine nichtnegative Zahl 𝑓(𝐴) unter
folgenden Bedingungen zugeordnet werden:
(α) Der Einheitswürfel hat den Inhalt 1.
(β) Kongruente Mengen haben denselben Inhalt.
..
..
(γ) Es ist 𝑓(𝐴+𝐵)=𝑓(𝐴)+𝑓(𝐵).
(δ) Es ist 𝑓(𝐴+𝐵+𝐶+⋯) = 𝑓(𝐴) + 𝑓(𝐵) + 𝑓(𝐶) +⋯ für eine beschränkte Summe von
abzählbar vielen Summanden.*)

*) Vgl. H. Lebesgue, Leçons sur l'intégration(Paris 1904), S. 103. Wir bezeichnen eine Summe von Mengen nur dann mit..
.. 𝐴+𝐵+⋯, wenn diese Menge paarweise keinen Punkt gemeinsam haben."

Tr. 'The goal is to assign, as a [so-called] 'content', a non-negative number 𝑓(𝐴) to every bounded [sub]set 𝐴 of the 𝑛-dimensional Euclidean space 𝐸ₙ , subject to the following conditions:
..
..
(α) The unit cube has the content 1.
(β) Congruent sets have the same content.
(γ) 𝑓(𝐴+𝐵)=𝑓(𝐴)+𝑓(𝐵).
(δ) 𝑓(𝐴+𝐵+𝐶+⋯) = 𝑓(𝐴) + 𝑓(𝐵) + 𝑓(𝐶) +⋯ for every bounded sum of finitely-many summands.*)

*) Cf. H. Lebesgue, Leçons sur l'intégration ..
..(Paris 1904), S. 103. We denote a sum of sets by 𝐴+𝐵+⋯ only if no two of these sets have a point in common.'
#BÜDIVP-5.
"Die von Lebesgue gegebene 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣𝑒 Inhaltsdefinition erfüllt zwar diese vier Forderungen, aber sie ordnet nicht allen(beschränkten) Mengen, sondern nur den „meßbaren“ Inhalte zu." Tr.: 'While the 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 definition of contents given..
.. by Lebesgue satisfies these four demands, it does not assign a content to all (bounded) sets, but only to the 'measurable' ones.'
#BÜDIVP-6.
"Das erste Beispiel einer im Lebesgueschen Sinne nicht meßbaren Menge stammt von G. Vitali**); übrigens hat das System der unmeßbaren Mengen dieselbe Mächtigkeit wie das der meßbaren und das aller Mengen.

**) A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre..
.. (Leipzig und Berlin 1913, S. 374, wo außer weiteren Beispielen von E. B. van Vleck und Lebesgue auch das im Text folgende von mir mitgeteilt ist."
Tr.: 'The first example of a set which is not measurable in the sense of Lebesgue is due to G. Vitali**); by the way, the set of..
.. all non-measurable sets has the same cardinality as the set of all measurable ones and as the set of all sets. [Here, Hausdorff of course implicitly means: of all SUBsets of of all subsets of ℝⁿ. The idea of a 'set of all sets' is inconsistent, by Russell's paradox. LG,I]
A. Schoenflies, 'Entwickelung der Mengenlehre' (Leipzig and Berlin 1913), p. 374, where (besides the examples of E. B. van Vleck and Lebesgue) my example given here is presented, too.
Remark. It is NOT entirely clear from the original German whether Hausdorff claims originality..
.., but he most probably does. His formulation "das im Text folgende von mir mitgeteilt ist" is ambiguous. Namely, the "von mir" can either be interpreted as referring to 'das im Text folgende [Beispiel]' (and that would mean that Hausdorff essentially says 'it's my example'..
.., or (this is grammatically possible but admittedly quite absurd) it could be interpreted as referring to 'mitgeteil',i.e., it could be interpreted as Hausdorff saying that he hand a hand in writing Schoenflies' article and that it is he who wrote the presentation; again, the..
.. latter is highly unlikely.I haven't taken the time to take a look at Schoenflies' 1913 book (yet).
@threadreaderapp: please UNROLL.
#BÜDIVP-7:
"Die Frage bleibt also offen, ob das durch die Forderungen (α) bis (δ) gestellte Inhaltsproblem, 𝘪𝘯 𝘥𝘦𝘳 𝘈𝘶𝘴𝘥𝘦𝘩𝘯𝘶𝘯𝘨 𝘢𝘶𝘧 𝘢𝘭𝘭𝘦 𝘣𝘦𝘴𝘤𝘩𝘳𝘢̈𝘯𝘬𝘵𝘦𝘯 𝘔𝘦𝘯𝘨𝘦𝘯, überhaupt lösbar ist oder nicht." Tr.: 'Thus, the question remains open whether..
.. the problem about contents posed by the demands (α) until (δ), 𝘪𝘯 𝘪𝘵𝘴 𝘦𝘹𝘵𝘦𝘯𝘴𝘪𝘰𝘯 𝘵𝘰 𝘢𝘭𝘭 𝘣𝘰𝘶𝘯𝘥𝘦𝘥 𝘴𝘦𝘵𝘴, [Here Hausdorff of course means: all bounded subsets of Euclidean space LG,I] is solvable at all.'
#BÜDIVP-8:
"Man bemerkt sofort, daß eine Lösung des Inhaltsproblems für den 𝐸ₙ₊₁ auch eine für den 𝐸ₙ liefern würde (indem man einer 𝑛-dimensionalen Menge 𝐴ₙ den (𝑛+1)-dimensionalen zylindrischen Körper 𝐴ₙ₊₁ mit der Basis 𝐴ₙ und der Höhe 1 zuordnet und..
.. 𝑓ₙ(𝐴ₙ) = 𝑓 ₙ₊₁ (𝐴ₙ₊₁) setzt); ebenso auch eine für den sphärischen Raum 𝐾ₙ, wobei die Bedingung (α) durch die zu ersetzen ist, daß 𝐾ₙ, selber einen positiven Inhalt, etwa 1, haben soll; endlich sind die Inhaltsbestimmungen für die gerade Linie 𝐸₁ und den..
.. 𝐾₁ identische Probleme." My tr.: 'One notices immediately that a solution of the content-problem for 𝐸ₙ₊₁ would also yield a solution for 𝐸ₙ (by assigning to any 𝑛-dimensional set 𝐴ₙ the (𝑛+1)-dimensional cylindrical body 𝐴ₙ₊₁ with base 𝐴ₙ and height 1 and..
.. by letting 𝑓ₙ(𝐴ₙ) = 𝑓 ₙ₊₁ (𝐴ₙ₊₁)); similary for the spherical space 𝐾ₙ, though condition (α) then has to be replaced with the one that 𝐾ₙ itself has a positive content, 1 say; finally, the determination of contents within the straight line 𝐸₁ and the circle..
.. 𝐾₁ are identical problems."
#BÜDIVP-9:
"Wir zeigen zuerst, daß unter den Forderungen (α) bis (δ) eine Inhaltsbestimmung keinesfalls möglich ist; nach dem eben Bemerkten genügt es, dies für den Kreis nachzuweisen." My tr.: 'We first show that under the conditions (α) to (δ) it is impossible to define..
.. contents; by the preceding remarks, it is sufficient to prove this for the circle.'
#BÜDIVP-10:
"Zu diesem Zweck spalten wir die Kreisperipherie 𝐾 in 𝘢𝘣𝘻𝘢̈𝘩𝘭𝘣𝘢𝘳 𝘷𝘪𝘦𝘭𝘦 𝘬𝘰𝘯𝘨𝘳𝘶𝘦𝘯𝘵𝘦 Mengen." My tr.: 'To this end, we partition the circle-periphery 𝐾 into 𝘤𝘰𝘶𝘯𝘵𝘢𝘣𝘭𝘺-𝘮𝘢𝘯𝘺 𝘤𝘰𝘯𝘨𝘳𝘶𝘦𝘯𝘵 sets.'
#BÜDIVP-11: "Nehmen wir den Radius = 1/(2π), also 𝑓(𝐾)=1, stellen die Punkte des Kreises durch eine reelle Variable 𝑥 dar, so daß zwei Werten mit ganzzahliger Differenz derselbe Kreispunkt entspricht, und verstehen unter δ eine irrationale Zahl, so gehört zu jedem..
.. Punkt 𝑥 eine abzählbare Menge

𝑃ₓ = {⋯,𝑥-2δ,𝑥-δ,𝑥,𝑥+δ,𝑥+2δ,⋯};

und zwei Mengen 𝑃ₓ 𝑃ᵧ haben, wenn sie nicht identisch sind, keinen Punkt gemein."My tr.: 'If we take the radius equal to 1/(2π), hence 𝑓(𝐾)=1, and if we represent the points of the circle by..
.. a real variable 𝑥, so that [of course this is not a condition but is more-or-less necessarily true. LG,I] two values with an integer-valued difference corresponds to the same point of the circle, and if we let δ denote an irrational number, then to every point 𝑥 there..
.. corresponds a countable set

𝑃ₓ = {⋯,𝑥-2δ,𝑥-δ,𝑥,𝑥+δ,𝑥+2δ,⋯};

futhermore, two sets 𝑃ₓ, 𝑃ᵧ don't have any point in common, unless they are identical.'
[ to be continued, hopefully soon ]
@threadreaderapp : please unroll.
#BÜDIVP-12: "Wählen wir jetzt aus jeder Menge 𝑃ₓ genau einen Punkt 𝑥 aus, so entsteht eine Menge

𝐴₀ = {𝑥,𝑦,𝑧,⋯},

die durch Drehung um ein beliebiges Vielfaches 𝑚δ von δ in die Menge

𝐴ₘ = { 𝑥+𝑚δ, 𝑦+𝑚δ, 𝑧+𝑚δ,⋯}

übergeht; zwei solche Mengen mit verschiedenem..
.. Index haben keinen Punkt gemein, und es ist 𝐾 = ⋯ + 𝐴₋₂ + 𝐴₋₁ + 𝐴₀ + 𝐴₁ + 𝐴₂ + ⋯." My tr.: 'If we now choose exactly one point 𝑥 from each set 𝑃ₓ, then this results in a set 𝐴₀ = {𝑥,𝑦,𝑧,⋯}, which a rotation by an arbitrary multiple 𝑚δ von δ maps to..
.. the set 𝐴ₘ = { 𝑥+𝑚δ, 𝑦+𝑚δ, 𝑧+𝑚δ,⋯}; two such sets with distinct indices do not have any point in common.' [Translator's note: I intentionally do not use the usual modern technical term 'disjoint'. LG,I]
#BÜDIVP-13:
"Alle diese Mengen sind kongruent, sollen also denselben Inhalt 𝑓(𝐴ₘ ) = 𝑎 haben; da 𝐾 die Teilmenge 𝐴₁ + 𝐴₂ + ⋯ + 𝐴ₙ enthält, so muß 1≧𝑛𝑎 sein für jede natürliche Zahl 𝑛, also 𝑎=0, und damit ist die Bedingung (δ) verletzt." My tr.: 'All these..
.. sets are congruent, hence ought to have the same content 𝑓(𝐴ₘ ) = 𝑎; since 𝐾 contains the subset 𝐴₁ + 𝐴₂ + ⋯ + 𝐴ₙ, it follows that 1≧𝑛𝑎 for every number 𝑛, hence 𝑎=0, and therefore condition (δ) is violated.'
#BÜDIVP-14:
"Es folgt beiläufig, daß diese Mengen 𝐴ₘ im Lebesgueschen Sinne nicht meßbar sind (ihr äußerer Inhalt ist positiv, der innere Null); aber das Wesentliche ist, daß wir gar nicht von der Lebesgueschen Inhaltsdefinition, sondern nur von seinen Postulaten Gebraucht..
.. gemacht haben." My tr.: 'As a corollary it follows that these sets 𝐴ₘ are not measurable in the sense of Lebesgue (their outer content is positive, while the inner is zero); what is essential, though, is that we didn't make any use of Lebesgue's definition of contents, but..
.. only of his postulates.'
#BÜDIVP-15:
"Der Widerspruch, auf den wir geführt wurden, bezieht sich auf die Forderung (δ), die allerdings gerade den spezifischen Vorzug der Borel-Lebesgueschen Maßtheorie gegenüber der älteren Peano-Jordanschen Inhaltstheorie ausmacht." My tr.: 'The contradiction that we..
.. arrived at refers to condition (δ) which, nevertheless, is the just the specific advantage of the Borel-Lebesgue measure theory compared to the older Peano-Jordan theory of contents.'
#BÜDIVP-16:
"Lassen wir aber diese Forderung fallen und fragen nach einer etwaigen Lösung des Inhaltsproblems unter Einschränkung auf die Postulate (α) (β) (γ), die wohl das Minimum darstellen, was vom Inhalt der Punktmengen verlangt werden muß." My tr.: 'Let us, however, drop..
.. this condition and ask whether it is possible to find a solution to the content-problem restricted to only the postulates (α) (β) (γ), which probably represent the very least of what must be required of a content of point-sets.'
#BÜDIVP-17:
"𝘚𝘦𝘭𝘣𝘴𝘵 𝘶𝘯𝘵𝘦𝘳 𝘥𝘪𝘦𝘴𝘦𝘯 𝘉𝘦𝘥𝘪𝘯𝘨𝘶𝘯𝘨𝘦𝘯 𝘪𝘴𝘵 𝘥𝘢𝘴 𝘗𝘳𝘰𝘣𝘭𝘦𝘮 𝘶𝘯𝘭𝘰̈𝘴𝘣𝘢𝘳, wenigstens für die Kugel und daher für den drei- oder mehrdimensionalen euklidischen Raum." My tr. '𝘌𝘷𝘦𝘯 𝘶𝘯𝘥𝘦𝘳 𝘵𝘩𝘦𝘴𝘦 𝘤𝘰𝘯𝘥𝘪𝘵𝘪𝘰𝘯𝘴..
.. 𝘵𝘩𝘦 𝘱𝘳𝘰𝘣𝘭𝘦𝘮 𝘪𝘴 𝘶𝘯𝘴𝘰𝘭𝘷𝘢𝘣𝘭𝘦, at least for the sphere and hence for three- or multidimensional space.'
[to be continued soon, hopefully]
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