Thread by @maximev1314

[Thread sur la Relativité Restreinte d'Einstein]
Partie 1: La Transformation de Lorentz

(niveau ~lycéen)

Petite introduction sur la transformation de Lorentz : Einstein montra au début du XXème siècle que la mécanique classique ne pouvait plus fonctionner avec des systèmes ayant une vitesse proche de celle de la lumière.

En effet, il postula que la vitesse de la lumière est invariante et est la vitesse limite des théories relativistes.

Grace à ce postulat, il démontra tout un tas de phénomènes, dont le fait que le temps n’est pas absolu (n’est pas partout le même) ou encore sa relation E=mc^2.

Tous ces phénomènes proviennent du cœur de la relativité restreinte.
On pourra toutes les démontrer via cet outil : c’est la transformation de Lorentz.

En quoi consiste la transformation de Lorentz ?

Elle permet de relier deux référentiels dits Galiléen tout en préservant son postulat et les équations de la physique classique. Plus facile à dire qu’à faire.

Accrochez-vous, car ce thread risque d’être assez long !

Tout d’abord définissons « référentiel » :
en physique, pour positionner un objet dans l’espace, nous devons définir ses coordonnées par rapport à un autre solide dit immobile.

On peut imaginer ce solide comme l’origine du repère, qui est lui-même composé de trois axes fictifs perpendiculaires entre eux.

On pourra définir les coordonnées d’espace d’un objet en mètre selon ces trois axes.
Nous les noterons de cette façon :

Par exemple : un oiseau (sans mouvement) se situe à 5 mètres au-dessus du sol.

On imagine les 3 axes x, y et z.

Le référentiel est le « sol », l’ « oiseau » est l’objet étudié et « 100 mètres » est sa coordonnée d’espace.

Le système ci-dessus permet de décrire la position de l’oiseau, mais pas un mouvement.

Pour cela, nous devons ajouter au système de coordonnées une dimension de temps t en seconde :

Devons-nous dans ce cas ajouter un quatrième axe dans notre repère ?

Non, en mécanique classique, dite Galiléenne, le temps est absolue. On imaginera que l’on dispose d’un chronomètre pour mesurer le temps.

Par exemple, on imagine que l’oiseau se déplace à une vitesse v constante sur l’axe y.
On récupère 2 positions dans l’espace et le temps:

Grâce à ces positions, nous pouvons calculer la vitesse de l’oiseau.

On remarque que dans les positions dimensionnelles Oiseau0 et Oiseau1, x et z ne varient pas. On n’en conclut que la vitesse de l’oiseau par rapport au sol est nul sur ces axes :

Cependant, sur l’axe des y, nous avons une variation de position. Nous pouvons donc conclure la vitesse de l’oiseau par rapport au sol :

Prenons maintenant le point de vue de l’oiseau : on imagine le repère avec les trois axes au milieu de la bête. Dans son référentiel, l’oiseau est immobile ! Ce sont les nuages et le sol qui gagnent une vitesse de 0,67 m/s.

Quel est la différence entre les deux référentiels alors ? Le sens du vecteur vitesse :

Dans la vie réelle, on remarque très souvent ce « phénomène » : lorsque vous regarder une voiture rouler sur une autoroute, elle se déplace vers l’avant.
Si maintenant vous êtes à l’intérieur, vous voyez défiler l’environnement vers l’arrière.

Dans ce thread, les référentiels seront de type Galiléen, c’est-à-dire que tout corps sera en mouvement de translation rectiligne uniforme ou au repos (soit le corps à une vitesse constante, soit il est immobile).

Maintenant que nous avons défini ce qu’est un référentiel, penchons-nous sur la transformation de Lorentz.

Nous allons d’abord étudier la mécanique classique et répondre à la question « pourquoi avons-nous besoin de la modifier », puis nous nous intéresserons à la mécanique relativiste et ses conséquences sur l’espace et le temps pour finalement, comparé les deux mécaniques.

Pour cela, je vais emprunter quelques extraits de l’expérience d’Einstein dans son livre La Relativité.

On imagine deux référentiels K et K’.

À t=t’=0s, les deux origines sont confondus. K’ a une vitesse v constante sur l’axe x positif par rapport à K.

Chaque référentiel à sa propre horloge pour mesurer leur temps propre :

Essayons de trouver un système d’équation reliant les référentiels K et K’ pour chaque coordonnée.

Pour cela, posons un événement E (rond rouge) qui a ses propres coordonnées dans K et K’.

De plus, nous connaissons les coordonnées de E dans K.

Déterminons alors la position spatiale et temporelle de E dans le référentiel K’ selon les coordonnées de E dans K:

Nous avons x = d + x’, donc x’ = x - d

De plus, d représente la distance qu’à parcouru K’ en un temps t. Donc v= d/t, soit d= vt

Par ailleurs, comme dit avant, le temps est absolue en Mécanique Galiléenne donc t=t’. Finalement :

Ce principe appelé Transformation Galiléenne n’est vrai QUE pour des vitesses faibles. En effet, en s’approchant de la vitesse de la lumière, les valeurs expérimentales et théoriques ne collent plus du tout. Il faut donc modifier la vieille Mécanique.

En 1905, Albert Einstein élabore la théorie de la relativité Restreinte et pose la vitesse de la lumière comme constante universelle, invariante et vitesse limite des théories relativistes.

C’est-à-dire, qu’importe le référentiel utilisé, la lumière aura toujours la même valeur. Elle ne peut ni être plus rapide, ni être plus lente :

Petite représentation visuelle reprise dans la vidéo de ScienceClic sur la relativité restreinte : un humain allume une lampe vers l’avant du vaisseau.

En bas : du point de vue du vaisseau. En haut : du point de vu de la Terre. Le rayon a toujours la même vitesse qu’importe le référentiel.

Montrons que la Mécanique Galiléenne est fausse pour des vitesses importantes :
imaginons que K’ se déplace à la vitesse de la lumière.

L’équation ci-dessus est complètement fausse : la vitesse de la lumière est invariante. D’où le besoin de modifier cette transformation !

Les équations de la physique doivent être préservé tout en tenant compte la vitesse de la lumière comme constante.

Einstein utilisera les travaux de Lorentz pour créer un nouveau pont reliant les coordonnées d’espace et de temps entre deux référentiels : Les Transformations de Lorentz.

En utilisant une expérience similaire avec les référentiels K et K’, nous obtenons ce système d’équation (démonstration en fin de thread) :

Ici, plus de problèmes : les équations fonctionnent qu’importent la vitesse (v<c) du référentiel K !
En effet, pour des vitesses faibles, le coefficient de Lorentz tend vers 1, et on retrouve entre autres la transformation Galiléenne :

On peut considérer un objet comme non-relativiste quand sa vitesse est inférieur à un dixième de celle de la lumière (c/10), soit environ 3.10^7 m/s ou moins.

Voici une idée graphique du coefficient de Lorentz :

Le point A représente le coefficient de Lorentz d’un système se déplaçant à 10% de la vitesse de la lumière, qui est égale à 1,005 (négligeable).

On remarque aussi une asymptote sur v=c=3.10^8 m/s.

En effet, quand v tend vers la vitesse de la lumière, le coefficient de Lorentz tend vers l’infini, ce qui a pour conséquence de tordre complètement l’espace et le temps (nous verrons pourquoi un peu plus tard).

Quelles sont les différences entre ces deux transformations ?

On remarque qu’un coefficient intervient dans les transformations d’espace et de temps, ce coefficient de Lorentz.

Conséquence : On pouvait penser que le temps est partout le même, qu’il est absolu !

Faux : le temps est relative. Lorsque l’on mesurera la coordonnée de temps de l’événement E, l’horloge dans K n’indiquera pas le même temps que l’horloge dans K’.

Prenons l’exemple d’un train roulant à une vitesse à 75% de celle de la lumière par rapport au talus.

On note E un point dans l’espace-temps situé à 100m du talus sur l’axe x positif.

Étudions le cas où la position du train par rapport au Talus est de d=0m, puis d=75m:

On remarque que dans les deux cas, t’<t : cela veut dire que le train, dans son référentiel, est en retard sur son temps !

Dans son référentiel, il est immobile :

c’est le point E qui gagne une vitesse -v.
Celui-ci devra parcourir les 100 mètres pour atteindre le train ainsi que la distance dû à son retard (ici +51m).

Si on compare avec la vieille mécanique, par rapport au référentiel du train :

Pourtant, quelque chose cloche : si t’<t, alors le train et E se rencontreront plus tôt dans le référentiel du train que celui du quais.
Pourtant, dans le référentiel du train, il y a plus de distance à parcourir dû au retard.

Et vous avez tout à fait raison ! D’autres phénomènes entrent en jeux : la dilatation des temps et la contraction des longueurs.

Je ne veux pas rentrer dans les détails car j’aimerai consacrer un thread sur ces phénomènes, mais sachez que c’est une conséquence de l’invariance de la vitesse de la lumière (qu’importe le référentiel choisi) : pour garder c constant, il faut manipuler l’espace et le temps.

Dans le train, le temps passera moins vite que sur le quais. De plus les rails seront contractés.

Plus on s’approche de la vitesse de la lumière, plus le coefficient de Lorentz est grand, plus ces effets sont importants :

Voilà qui explique ce paradoxe.

Si vous êtes curieux, voici une vidéo des Idées Froides expliquant très bien comment se produisent ces phénomènes :

Voilà, on a su montrer que la mécanique relativiste respecte à la fois les équations de l’ancienne mécanique tout en prenant en compte la vitesse de la lumière constante (cette dernière un peu moins).

La transformation de Lorentz impliquera de nombreux phénomènes, notamment cette contractions d’espace, cette dilatation des temps, mais aussi l’effet doppler relativiste, la cinétique relative…
On saura même démontrer la fameuse relation d’Einstein : E=mc^2

Je pense qu’il était important d’introduire la transformation de Lorentz avant tout autre chose. On retrouvera son coefficient partout en mécanique relativiste !

Pour mon prochain thread, je compte m’attaquer la simultanéité relative : le fait que deux événements apparaissent en même temps dans un référentiel mais pas simultanément dans un autre.

Voila merci d'avoir lu ce thread! Si vous avez des questions ou des corrections, n'hésitez pas

Je mettrai les corrections de certaines erreurs que j'ai peut-être fait au niveau de ce tweet

Pour les plus courageux, continuons avec la démonstration de la Transformation de Lorentz

Rappelons notre but : nous voulons relier les systèmes de coordonnées d’espace et de temps de deux référentiels inertiels.

Cependant, la mécanique classique devient inutilisable lors d'études de système relativiste.

Nous devons donc la modifier en tenant en compte la transformation Galiléenne et l’invariance de la vitesse de la lumière.

Imaginons un référentiel K et un référentiel K’ se déplaçant à une vitesse v sur l’axe x positif par rapport à K :

On imagine un événement E’ à l’origine du référentiel K’ :

En écrivant la transformation Galiléenne pour E’, on remarque que x’ dépend de x et de t.

On commence la mise à jour de la transformation en posant les constantes a et b respectivement produit de x et t :

Simplifions l’équation à une constante :
E’ se déplace sur l’axe des x positif par rapport à K, mais est immobile par rapport à K’. Ainsi :

On remplace dans l’équation et on isole la constante b :

On a ainsi une relation entre les constantes, ce qui nous permettra de travailler exclusivement avec a.

Finalement, on obtient la formule dans (1) :

Imaginons maintenant un événement E à l’origine de K.

Par rapport à K’, K a une vitesse de -v, soit le sens opposé de v.

On réalise la même démarche qu’avec E’ :

Imaginons maintenant qu’à t=0s et t’=0s, les origines de K et K’ coïncident dans l’espace.

On imagine aussi qu’un laser est tiré dans chaque référentiel :

On sait que la vitesse de la lumière est invariante, qu’importe le référentiel utilisé.

Nous pouvons ainsi écrire la distance parcourus du rayon K sur x par rapport à t dans le référentiel K et la distance parcourus du rayon K’ sur x’ par rapport à t’ dans le référentiel K’ :

On remplace (4) et (5) dans (3) :

Notre but ici est de trouver la constante a en utilisant ces deux équations :

Nous venons de démontrer le coefficient de Lorentz ! Nous ne le nommerons plus a mais gamma.

Ainsi, nous pouvons maintenant relier les coordonnées d’espace K et K’:

Maintenant, relions la coordonnée de temps de K’ vers K en utilisant (7) et (8) :

Conclusion : pour un événement E situé sur l’axe x positif :

Fin de la démonstration.

Sources (thread en entier):

La Relativité d'Albert Einstein

fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9f%…

fr.wikipedia.org/wiki/Transform…

youtube.com/channel/UCOfLm…

CORRECTION 1:

Je remercie @AnimesScientist d'avoir corriger ma définition d'un référentiel Galiléen: effectivement, la somme des forces exercées sur les objets étudiés est nul ! 1/2

https://twitter.com/maximev1314/status/1282117846601011201?s=19

Ainsi, les objets n'ont pas d'accélération et donc ne peuvent pas tourner vers une autre direction: soit l'objet est immobile, soit il a un mouvement de translation rectiligne uniforme (=l'objet a une vitesse et suit toujours la même direction et le même sens)

2/2

BONUS 1:

Rédaction beaucoup plus complète de "pourquoi la vitesse de la lumière est invariante"

Merci à @VP_Shurkaion !

https://twitter.com/VP_Shurkaion/status/1282513767209861121?s=19