Hoy, 22 de julio, es el día de aproximación de Pi y un gran momento para hablar de una curiosidad del número Pi que, a pesar de no ser de las más conocidas, hace que lo queramos aún más: la relación de Pi con el conjunto de Mandelbrot, M @ENEM_mat #ENEMDivulga 
Todos conocemos al número Pi, la mayoría por ser la razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma. Que hoy sea el día de aproximación de Pi es porque la fecha en forma de fracción, 22/7, es una gran aproximación de Pi
¿Y el conjunto de Mandelbrot? Pues es un fractal que se crea estudiando cómo se comporta cierta expresión con los números complejos. Parece difícil pero no lo es tanto. Tomamos un número complejo c y lo metemos en zₙ²+c; luego metemos el resultado de nuevo en zₙ²+c, y así...
(se dice que estamos aplicando un método iterativo, y cada uno de los cálculos que hacemos se denomina "iteración")
...sucesivamente (calculamos así la órbita de c). Si llega un momento en el que los resultados crecen indefinidamente, pasamos del c, y si ese momento no llega entonces nos quedamos con c. Todos esos c's que nos hemos quedado forman el conjunto de Mandelbrot, M
Por cierto, se sabe que si para un c concreto uno de los resultados obtenidos tiene módulo mayor o igual que 2, entonces los siguientes resultados crecen indefinidamente y, en consecuencia, dicho c no pertenece a M. Ya tenemos una manera de descartar una gran cantidad de puntos
Aunque así ya es muy bonito, queda muy soso, ¿verdad? Coloreemos los puntos más cercanos al borde de M de distinto color dependiendo de cuánto tardan en dar un resultado con módulo mayor o igual que 2. Nos queda así la preciosidad de conjunto M que estamos más acostumbrados a ver
Para más información sobre M, las órbitas, su relación con los conjunto de Julia (otros fractales preciosísimos), qué ocurre cuando hacemos zoom en su borde y demás os recomiendo que visitéis esto que escribí dedicado a él gaussianos.com/%C2%BFque-es-e…
Seguimos con el tema que nos ocupa. Si giramos M en sentido horario 90º, nos queda una especie de muñequito en el que vamos a destacar dos lugares: el cuello y, ejem, la "parte trasera"
Bien, pues a principios de los años 90 siglo XX estaba un tal Dave Boll jugando con este conjunto cuando pensó en cómo podría demostrar que el "cuello" está formado por un único punto (hecho que es cierto, en concreto es el punto (-3/4,0) del plano). Peor es darse cabezazos 🤷♂️
Para ello, tomó puntos cercanos al "cuello" y estudió cuántas iteraciones hacían falta para obtener algo con módulo mayor o igual que 2 (y, por tanto, fuera de M). En concreto, tomó puntos de la forma (-3/4,ε), con ε=1,0'1, 0'01, 0'001, etc. Obtuvo los siguientes resultados:
¿Veis algo? ¡¡Efectivamente!! Si multiplicamos ε por el número de iteraciones, que vamos a llamar N(ε), el resultado se acerca cada vez más a Pi conforme ε se acerca a 0. ¿No os parece maravilloso? Yo todavía lo flipo cuando lo veo 🤗🤗🤗
¿Casualidad? Veámoslo, dijo nuestro amigo Dave. Se fue a la "parte trasera", que es el punto (1/4,0), y probó a hacer algo parecido, pero tomando puntos de la forma (1/4+ε,0), con ε=1, 0'1, etc, como antes. Lo que obtuvo fue lo siguiente:
Vaya, ahora parece que algunos sí que se parece a Pi y otros no. Un momento, ¿y si en vez de tomar ε tomo su raíz cuadrada? ¡¡Bingo!! Si multiplicamos √ε por el número de iteraciones, N(ε), de nuevo los resultados se acercan más y más a Pi. Qué maldita maravilla
Bueno, un momento. La tendencia en ambos casos parece que está clara, vale. Pero, ¿está demostrado?
Para el cuello no, hasta donde yo sé no está demostrado que esa tendencia se mantenga...¡¡¡pero para el trasero sí!!! Desde 2001 se sabe que para el "culete" de M se cumple que
Para el cuello no, hasta donde yo sé no está demostrado que esa tendencia se mantenga...¡¡¡pero para el trasero sí!!! Desde 2001 se sabe que para el "culete" de M se cumple que
De hecho, se conjetura que existen infinitos puntos para los cuales cierta ruta de "acercamiento" y cierta función de ε nos proporcionan un límite cuyo resultado es nuestro amado y admirado número Pi. Sería maravilloso ver demostrado este resultado 😍😍😍
De todo esto, con algo más de detalle, os hablé hace unos años en Gaussianos. Espero que os haya gustado el hilo. Ah, y si tenéis más información al respecto no dudéis en hacérmelo saber 😀😀😀 gaussianos.com/pi-y-el-conjun…
