Thread by @julhamarcolan

Hoje eu vim falar um pouco sobre Cálculo Numérico nessa #FísicaThreadBr. O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar e criar algoritmos numéricos para resolução de problemas que podem ser representados por um Modelo Matemático.

O objetivo do cálculo numérico é encontrar uma solução aproximada para o problema mantendo sobre controle os erros associados a essa aproximação.

Você acha que o cálculo numérico é coisa nova (impulsionado pelas novas tecnologias e advento do computador) ou coisa antiga (que já vem sendo desenvolvida e utilizada a muito tempo)?

Responda o #Quiz que daqui a pouco eu sigo um fio contando a resposta

Antes de dar a resposta pro #Quiz, vamos conversar um pouco sobre os problemas que queremos resolver. Grande parte dos problemas matemáticos surgem da observação da natureza e do comportamento dela, e tais problemas podem ser descritos por meio de modelos matemáticos.

Na figura abaixo, temos um esquema das etapas para solucionar um problema

Problema: O primeiro passo é conhecer o seu problema e entender como ele funciona. Se esse problema é um fenômeno da natureza ele vai ter um tipo de comportamento específico que poderá ser observado.

Modelagem do problema: Consiste em representar esse problema por meio de um modelo matemático. Essa etapa fica mais fácil uma vez que você conhece bem o problema que deseja resolver. Como conhecer um problema? Por meio da observação do comportamento do mesmo.

Resolução do modelo: etapa em que buscamos encontrar uma solução para o modelo matemático obtido na fase de modelagem.

Isso pode ser feito por meio de um método analítico, ou um método numérico. Qual a diferença entre os dois? Vamos entender...

Um método analítico aquele que, a menos de erros de arredondamentos, fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais soluções são obtidas a partir de fórmulas explícitas.

Um método numérico, por sua vez, é constituído por uma sequência finita de operações aritméticas que, sob certas condições, levam a uma solução ou a uma aproximação de uma solução do problema. Mantendo sobre controle os erros associados a essa aproximação.

Finalmente respondendo o #Quiz
Cálculo numérico é coisa antiga!!

Os primeiros registros do uso do cálculo numérico são datados de muito tempo atrás, da época da matemática Babilônica (se refere a qualquer forma de matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia, desde os dias dos antigos Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C.)

Alguns problemas resolvidos nessa época, utilizando cálculo numérico foram: A quadratura do círculo, a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados iguais além de muitos cálculos de volumes de figuras geométricas.

A imagem mostra uma Tabua de argila babilônica com inscrições, a diagonal mostra uma aproximação da raiz quadrada de 2, com seis casas decimais.

O interessante é que quando fazemos essa conta com uma calculadora o erro* associado é da ordem de 10^(-5), ou seja o primeiro digito diferente de zero está na sexta casa decimal.

Erro = valor encontrado pela calculadora ( que iremos considerar como o calor exato) - o valor encontrado na solução babilônica

Existem cerca de 400 tábuas de argila, desenterrados desde meados do séc XIX, nas quais estão gravados os conhecimentos da matemática babilônica. A maioria dessas tábuas são datadas de 1800 até 1600 a.C

Muitos problemas em áreas como física, matemática, astronomia foram resolvidos utilizando técnicas aproximadas de cálculo numérico. E muitos cientistas conhecidos trabalharam com esse tipo de solução como o próprio Newton (existe inclusive um método chamado Método de Newton)

Mas como eles resolviam essas coisas na antiguidade sem o auxílio de um computador pra resolver os algoritmos? Bom a gente pode pensar que um algoritmo é um conjunto de passos definido que a partir de uma determinada entrada e um conjunto de passos retorne uma saída.

Se pensarmos assim, uma receita de bolo pode ser entendida como um algoritmo no qual a Palmirinha é o executor.

É claro que, com o passar do tempo os problemas foram ficando cada vez mais complicados e os métodos numéricos resolvidos de forma computacional ficaram cada vez mais importantes pra resolução desses problemas.

Exemplos de problemas atuais nos quais são empregados métodos numéricos:

Sistemas de segurança de banco

Previsão do tempo

Sistemas de controle de fluxo do metrô

Imagens médicas

Vou mostrar agora um problema clássico que resolvi, empregando métodos numéricos, durante a minha graduação em Física Computacional. Uma curiosidade que foi na resolução desse problema que eu me apaixonei pela computação na mesma proporção que pela física.

o Atrotor de Lorenz consiste em um sistema não-linear que exibe um movimento caótico.

Vamos definir sistemas caóticos como sistemas determinísticos que possuem grande sensibilidade nas condições iniciais, ou seja, uma pequena mudança, causada até mesmo pela incerteza de medidas físicas, pode gerar configurações futuras totalmente diferentes.

O modelo de Lorenz desenvolveu-se a partir da análise do comportamento de um fluido colocado entre duas placas mantidas a temperaturas diferentes, sendo uma mantida a temperatura constante.

O sistema consiste num modelo simplificado do comportamento da atmosfera: simula o comportamento de um fluido em um plano retangular, cuja temperatura do lado inferior é maior que a do superior, gerando correntes de convecção.

Lorenz buscava um modelo para o comportamento atmosférico e descobriu que pequenas mudanças ou pequenos erros em um par de variáveis produziam efeitos tremendamente desproporcionais. Sua descoberta foi apelidada de "Efeito Borboleta" (daqui a pouco vocês vão entender)

Quando eu, e meu grupo de laboratório dessa disciplina Amanda Rodrigues de Souza e Matheus de Moraes, resolvemos esse problema o objetivo era fazer a comparação entre dois métodos numéricos distintos o método de Euler e o método de Runge Kutta.

O método de Euler é um procedimento numérico de primeira ordem para solucionar EDOs com valor inicial dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para EDO

O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais populares. O método de Runge-Kutta de quarta ordem é um dos métodos mais precisos para soluções aproximadas de Problemas de Valor Inicial (PVI).

Eu não vou entrar em muitos detalhes sobre os métodos, pra não alongar mais ainda essa Thread, mas vou deixar fontes.

Podemos representar o estado de um sistema por meio de seu espaço de fase, gráfico no qual a variável tempo não aparece. Os gráficos, representam o espaço de fase para cada um dos métodos propostos. Dá pra entender de onde vem o termo borboleta de Lorenz?

Um sistema não linear, como o atrator de Lorenz, pode evoluir para algumas formas distintas. Bom o atrator de Lorenz é um atrator estranho, do tipo ciclo limites. Nesse tipo de atrator as linhas de fluxo do espaço de fase representam movimentos periódicos em torno de um ponto.

Da pra notar que os gráficos, apesar de usarem as mesmas condições iniciais, são um pouco diferentes? Isso ocorre por que o método de Runge-Kutta é um pouco mais preciso, ou seja, fornece uma aproximação um pouco melhor para a solução. Nesse gráfico aqui eles estão sobrepostos

Quando fizemos esse trabalho, variamos muito sutilmente uma das condições iniciais, e para todos os valores estipulados, as trajetórias seguem dentro de um mesmo modelo do efeito borboleta, mas para cada condição inicial ela segue um ritmo de trajetória diferente

Uma das conclusões que chegamos é que o movimento não era aleatório e nem cíclico. Mesmo com condições inicias disintas, as trajetórias são diferente porém elas se acumulam sobre uma mesmaforma que não depende da condição inicial, mas sim dos parâmetros utilizados +

como o número de Rayleigh, para um fluido é um número adimensional associado comos fluxos conduzidos por empuxo (também conhecidos como convecção livre ou convecção natural).

Bom, essa Thread ficou longa demais e espero que vocês tenham tido um gostinho do que é possível fazer aplicando métodos numéricos a resolução de problemas. Até a próxima e seguem as fontes

[1] Apostila de Cálculo Numérico do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará:

educapes.capes.gov.br/bitstream/cape…

[1] Apostila de Cálculo Numérico do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará:

educapes.capes.gov.br/bitstream/cape…

[2] Métodos Numéricos: exercícios resolvidos aplicados à Engenharia e outras Ciências, Maria Teresa Torres Monteiro:

repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822…

[3] Informações sobre a Tábua Babilônica: pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%…

[4] CHAOS VII: Estranhos Atratores. O efeito Borboleta. Disponível em <chaos-math.org/pt-br/caos-vii…>.

[5]O Atrator de Lorenz: O Efeito Borboleta num Atractor Estranho. Disponível em <to-campos.planetaclix.pt/fractal/lorenz…>.

Só queria deixar aqui registrado que os gráficos que eu adicionei na Thread não são de um artigo científico e sim de um trabalho que fiz enquanto estava no processo de aprendizado.... Os resultados poderiam ter sido melhores mas acho que não tivemos tempo de variar mais coisas kk