Thread by @hom0morphism

os presento a la primera teselación aperiódica del plano con una sola tesela: la teselación del sombrero (hat polykite tiling) !!

esta semana se ha hecho historia de las matemáticas y yo vengo a contároslo :)

dentro hilo (con muchos dibujitos)🧵
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este hilo pretende ser una introducción divulgativa y accesible a las teselaciones y al paper de D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan (@cs_kaplan) y C.Goodman-Strauss

link al preprint en arxiv: arxiv.org/abs/2303.10798

breve hilo de Kaplan:

https://twitter.com/cs_kaplan/status/1637996326129393666

las imágenes sin créditos específicos han sido sacadas de wikimedia commons o del paper original

Una teselación es una forma de rellenar el plano repitiendo infinitamente un conjunto finito de figuras, llamadas teselas.
Es decir, un patrón de azulejo de toda la vida como los de la Alhambra de Granada o los del Alcázar de Sevilla
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Cuando pensamos en una teselación, normalmente la imaginamos periódica, es decir, que si transladamos todas las teselas la misma distancia en la misma dirección y sentido, acabamos con la misma teselación
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Por supuesto, la curiosidad humana es insaciable y al ver esto surgen preguntas: ¿existen teselaciones no periódicas (aperiódicas)? ¿Cuál es el mínimo número de teselas distintas que tenemos que usar para conseguirlo?
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La respuesta a la primera pregunta llegó en 1964 con los trabajos de Hao Wang y Robert Berger. El primer ejemplo de teselación aperiódica necesitaba nada menos que 20426 teselas distintas! Aunque para 1971 ya se redujo este número a 6.
¿Hasta dónde podríamos llegar?
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En 1973, Roger Penrose descubrió su famosa teselación con tan solo 2 teselas! Como se ve, presenta una simetría rotacional de orden 5, pero nunca se repite por translación.
Esta era la mínima cantidad necesaria para dar una teselación aperiódica... hasta esta semana!! :)
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La nueva teselación descrita en el paper usa un solo tipo de tesela, cuya forma se parece a un sombrero (o a una camiseta)
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Las teselas en azul oscuro en la imagen anterior están colocadas "bocabajo" o como si estuviesen en un espejo, mientras que las demás tienen la misma orientación entre sí.
En esta imagen de @alytile, la tortuga (sombrero) resaltada tiene distinta orientación que la mayoría
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Esta nueva teselación se llama "einstein", del alemán "ein Stein": una piedra o tesela. Y hasta ahora no sabíamos si existía algún einstein!
(imagen de mathstodon.xyz/@3j0hn/1100654…)
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Geométricamente, el sombrero es muy fácil de construir: está compuesto por 8 "cometas" ("kites", de ahí polykite), que resultan de dividir un triángulo equilátero en 3 partes iguales dibujando las alturas desde su centro a los lados
(imagen de aperiodical.com/2023/03/an-ape…)
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Demostrar que se puede teselar todo el plano con el sombrero y que además la teselación es aperiódica no es nada fácil.
Para ello, los autores han analizado cómo las teselas interactúan entre sí, formando "metateselas"
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De hecho, no contentos con demostrar una vez que la teselación es aperiódica, lo demuestran 2 veces, una de las cuales utilizando técnicas novedosas en la rama.
Y aunque el paper está en preprint (podría contener errores), tiene muy buena pinta
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Algo que resulta curioso al observar qué teselas tienen orientación distinta a la mayoría es que están bastante bien distribuidas. Cada una (azul oscuro) está rodeada por tres con la orientación común (azul claro), de forma que estos grupos de 4 sombreros no se solapan
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Agrupando estos 4 sombreros obtenemos una metatesela más o menos como un hexágono irregular. Esta se puede volver a combinar con otros 2 hexágonos para obtener una "supertesela", que se puede combinar con otras para formar una supersupertesela más grande, etc.
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En total, hay 4 superteselas distintas: hexágono irregular (H), triángulo equilátero (T), paralelogramo (P) y aspa (F de "fylfot").
Las aspas siempre vienen en grupos de 3, formando una especie de ventilador o molino
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Estas superteselas se combinan siguiendo unas reglas como piezas de un puzzle. El lado A+ sólo encaja con el lado A-, etc.
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Las metateselas de tipo F (a la derecha en negro) forman una bonita estructura como ramas de un árbol, entre las cuales las demás superteselas encajan a la perfección
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En el paper se demuestra que estas metateselas siempre existen y que si la teselación es periódica, la metateselación también. Por otra parte, se prueba que la metateselación no puede ser periódica. Por tanto, la teselación de sombreros tampoco puede serlo
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Por cierto, no han descubierto una sino infinitas teselaciones einstein aperiódicas, resultantes de variar las proporciones de los lados del sombrero.
Os dejo una animación de todo este espectro de variaciones de forma continua, creada por el propio Craig Kaplan
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Otra curiosidad es que parte de la demostración consiste en comprobar muchos casos y eso es muy tedioso. Por eso los ha comprobado un ordenador, mientras que los autores han comprobado que el algoritmo de comprobar esté bien hecho. Esto es algo cada vez más habitual
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Ah, casi se me olvida. ¿Os acordáis de los sombreros con la orientación distinta a la mayoría? ¿Sabéis cuál es la proporción entre sombreros al derecho y al revés?
Pues φ⁴ : 1, el número áureo a la cuarta potencia! :)
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Para terminar quiero felicitar a los autores por este descubrimiento tan guay y agradecerles por haber hecho un paper tan legible para el público no experto y tan bonito en general. Si tenéis curiosidad, que no os dé miedo echarle un vistazo!

Y gracias a ti por llegar hasta aquí <3

No suelo hacer divulgación y quería intentarlo. Si os ha gustado podéis comentar debajo y si no os ha gustado pues también.

se agradecen mucho los retweets :)

[y ya está]
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