Thread by @ProfDuthoit

La puissance de cette technique de physicien- l’analyse dimensionnelle- m’étonnera toujours.

Explications et, en exemple, évaluons, à l’aide uniquement de ce cliché, l’énergie libérée par la première bombe atomique de l’histoire : « Trinity ».

Principe n°1 : Les 7 dimensions de base.

En physique toute caractéristique mesurable est appelée « grandeur physique » et chaque grandeur, de part sa nature, possède une « dimension ».

Voici les 7 dimensions de base :

Par exemple, la durée que vous mettez à lire ce tweet est homogène à un temps T.

Une vitesse, qui est le rapport de la distance parcourue et de la durée du parcours, aura une dimension « composée » L/T encore écrit L.T^-1

Ok, principe n°2 : l’homogénéité d’une équation.

Alias : « on ne peut pas comparer des pommes et des poires ».

Ce principe dit que dans une équation (ou une inéquation) les 2 membres de part et d’autre du signe égal doivent avoir la même dimension.

On dit que l’équation doit être « homogène ».

On peut ainsi trouver la dimension de n’importe quelle grandeur physique !

Quelle est par ex la dimension d’une énergie ?

Dans l’équation Ec = ½*m*v², le terme de droite a la dimension des grandeurs qui le composent soit
M.(L/T)^2, ce qui nous fournit la dimension de l’énergie :

Remarque : dans l’exemple ci-dessus le coefficient multiplicatif ½ n’a pas de dimension, c’est un nombre.

Vous êtes toujours là ? Bravo!! On continue !
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Principe n°3 : Les grandeurs pertinentes d’un phénomène.
Pour mettre en place notre super technique ultra-puissante, il faut analyser le phénomène pour essayer de déterminer quelles grandeurs peuvent y jouer un rôle important.
On dira que ce sont les grandeurs pertinentes du pb.

Ok, pour ça revenons à notre question de départ (quelle est l’énergie libérée par la 1ere bombe atomique de l’histoire ?) et appliquons notre technique de fou-fou :

Etape n°1 : Lister les paramètres pertinents.
C’est l’étape la plus difficile mais lorsque « ça rate » on peut toujours y revenir.

Pour notre cas je dirais que les grandeurs pertinentes sont (roulement de tambours) :

Le rayon de la boule de feu, noté R, dimension L.

L’énergie libérée, notée E, dimension M.L².T^-2.

La masse volumique de l’air, ρ qui vaut 1,2 kg.m^-3, de dimension M.L^-3

L’instant de la prise de vue, t, dimension d’un temps T.

Etape n°2 : Ecrire une relation entre les grandeurs pertinentes.

Cette étape est facile, on se base sur l’étape précédente pour écrire, comme des foufous:

La constante est une valeur numérique que nous prendrons égale à 1 dans un premier temps.

Par ailleurs α, β et γ sont à déterminer.

Comment faire?

Par analyse dimensionnelle !

Rappelez-vous : la dimension du membre de droite doit être la même que celle de gauche !

Transformons notre relation entre grandeurs physique en équation aux dimensions :

Pour que cette relation soit homogène, on trouve des conditions sur les exposants α, β et γ.

Ici, tous calculs (élémentaires) faits, on détermine que α= -1/5 , β= 1/5 et γ= 2/5. Youpi !

Revenons à notre équation avec les grandeurs physiques :

Puis insérons les valeurs des exposants :

Puisque nous cherchons l’énergie, isolons le terme E :

Nous touchons au but !!!

Grâce au cliché on peut estimer des valeurs numériques :
t= 0,025 s (inscrit sur le cliché)
R = 131 m (Grâce à l'échelle)
Et ρ = 1,2 kg.m-3

Ce qui nous donne finalement :
E = 7,4 x 10^13 J = 18,5 kilotonnes d’équivalent TNT.

La page Wikipédia indique 21 kT d’éq TNT, l’ordre de grandeur est le bon !

L’analyse dimensionnelle est puissante mais elle a des limites ! Le résultat obtenu n’est toujours qu’un « ordre de grandeur » c’est-à-dire que l’on peut se tromper d’un facteur 2 ; 5 ; voir 10 !

Elle permet de guider le physicien qui chercherait une relation exacte, en lui permettant de distinguer ce qui joue un rôle important de ce qui est négligeable en première approximation.

Merci de m’avoir lu jusqu’au bout, à bientôt et... à vos partages !!

@EugeneLouphoque @astropierre @jmcourty @jmpjexplique

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