از حدود ۲۲۰۰ سال پیش مقاطع مخروطی شکل‌های شناخته‌شده‌ای بودن. اولین سند تاریخی که به بررسی این منحنی‌ها پرداخته منسوب به آپولونیوس، ستاره‌شناس و ریاضیدان یونانیه.
البته گویا صدسال قبل از اون، منایخموس از رفقای افلاطون هم یه کارایی تو این زمینه کرده که اثری ازش باقی نمونده.
۱/۷
مطابق این شکل، مقاطع مخروطی حاصل تقاطع مخروط و یک صفحه مسطحند. اگر سطح مقطع:
موازی با قاعده مخروط← دایره
موازی با ارتفاع← هذلولی
موازی با خط مولد مخروط← سهمی
و اگر با هیچی موازی نباشه و کجکی مخروط رو قطع کنه← بیضی درست میشه.
حالا این وسط من همیشه با بیضی مشکل داشتم.
چرا؟
۲/۷
چون که مخروط بالاش تنگه و پایینش پهن. بنابراین اگر یه سطحی کجکی مخروط رو قطع کنه، قاعدتا باید اون پایینش پهن‌تر دربیاد و سطح مقطع باید یه چیز تخم‌مرغی شکل باشه نه بیضی.
خلاصه ذهنم مدت‌ها درگیر این مساله بود که چطور تو این ۲۰۰۰سال مشکلی پیش نیومده و برش‌ها همه‌ش بیضی دراومده؟
۳/۷
تا اینکه چندوقت پیش به کشف بزرگی دست یافتم. کلید حل معما این قضیه‌ست تو هندسه‌ی دبیرستان که دو پاره‌خطی که از یک نقطه بر دایره (یا کُره) مماس میشن طولشون برابره.
یکی از نتایجش اینه که دو پاره‌خطی که بر دو دایره مماس میشن هم طولشون برابره:
۴/۷
حالا وقتی که یک صفحه‌ی کج مخروط رو قطع می‌کنه، بالا و پایینش دوتا کُره بذارید طوری که هردوتاشون بر اون صفحه مماس بشن. و ایضا داخل مخروط رو هم پر کنن و بهش مماس بشن. اینجوری:
به این دوتا کره میگن کره‌های دندلین (Dandelin spheres)
۵/۷
حالا به این شکل نگاه کنید. دوتا کره در نقاط F1 و F2 به سطح مقطع مماس شدن. هر نقطه‌ی P روی سطح مقطع رو اگر به رأس مخروط وصل کنید، کره‌ها رو درنقاط P1 و P2 قطع می‌کنه (بهشون مماس میشه).
بنابراین طبق چیزی که در توییت چهارم گفتم، رابطه‌ای که سمت راست شکل نوشتم همیشه برقراره.
۶/۷
یعنی برای هرنقطه‌ی پیرامون سطح مقطع، مجموع فواصلش از اون دوتا نقطه F1 و F2 یه مقدار ثابته. به نقاط F1 و F2 میگن کانون‌های بیضی که درواقع محل تماسش با کره‌های Dandelin هستن.
خب اینجوری ثابت میشه که سطح مقطع یه بیضیه و نه تخم‌مرغ.
من که قانع شدم 😐
(math.stackexchange.com/q/2184505/3019…)
۷/۷
Share this Scrolly Tale with your friends.
A Scrolly Tale is a new way to read Twitter threads with a more visually immersive experience.
Discover more beautiful Scrolly Tales like this.