Lo contrario de sumar es restar. Lo contrario de multiplicar es dividir. Lo contrario de la raiz cuadrada es elevar al cuadrado. Pero...¿qué es lo contrario de derivar?
Si crees que lo opuesto de derivar es integrar, déjame explicarte de dónde viene esta confusión 👇👇
Responder "la integral" es tan común que incluso en algunos libros antiguos se le llamaba "antiderivada". El culpable de este error es el Teorema Fundamental del Cálculo. En concreto, lo vemos en su versión más conocida: la Regla de Barrow, que debe su nombre a este señor.
Este Teorema nos dice que, si tenemos una función buena, al integrar su deruvada recuperamos la función original evaluada en los extremos del intervalo de integración. Y este es el problema, que sólo vale para intervalos. ¿Qué pasa si queremos integrar algo de más dimensiones?🤔
Al final, integrar no es más que sumar los valores de la función, así que también querremos saber integrar cosas que varíen en más de una dirección. Por ejemplo, la presión que hay en cada punto de una zona concreta.
Como tenemos varias direcciones, tendremos que derivar en cada una de ellas y sumar las funciones que nos salgan (lo que se llama divergencia o módulo del gradiente).
Y ahora nos tocaría integrarlos una vez por cada dirección y ya tendríamos de nuevo la función de salida, ¿no?
¡Pues no! En el mejor de los casos te quedarán muchas copias de tu función, cada una de llas deformada en distintas direcciones. Vamos, que en generla va a ser un monstruo horrible.😱😱
Si queremos recuperar de la función de partida tendremos que usar el Teorema de Stokes (también llamado de Green en dos dimensiones). Este nos dice que la integral del gradiente es otra integral, pero esta vez de nuestra función original y en el borde de donde hayamos integrado.
En este video (en inglés) explican visualmente las demostraciones de estos Teoremas y se ve cómo es que al final no podemos librarnos de las integrales. Además, nos da otra opción de cuál podría ser nuestra antiderivada. ¿Cuál creéis que es?
Lo que tienen en común todos los casos es que aparece la frontera del lugar en el que integramos: los puntos de los extremos cuando integramos en un intervalo o el borde de los lugares de más dimensiones. 🎉🎉 ¡Hemos encontrado nuestra antiderivada, la frontera!🎉🎉
Como os hebeicho antes, integrar no es más que sumar los valores de una función en los puntos donde integramos, así que tan buen candidato no era. Si queréis saber de dónde sale lo de que integrar es sumar, escribí cómo se construye la integral aquí: metamates.wordpress.com/2021/05/21/int…
Y es que la Regla de Barrow es lo mismo que el Teorema de Stokes si escribimos la resta como esta integral tan raruna👇
¡Y muchas gracias por leer hasta aquí! 🤗🤗🤗
@mike_mates con esto se te cae lo de extender la media derivada como en tu video a funciones de varias variables😨😨
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