Thread by @smaccarrone

Hoy, en #matemáticas, nos hemos aproximado a los NÚMEROS IRRACIONALES intentando darles sentido desde la MEDIDA. Solo hace falta un papel cuadriculado.
Coged papel cuadriculado y empezad por dibujar un cuadrado de área igual a 4 unidades y otro de 9 unidades.

Probablemente hayáis dibujado algo como esto. ¿Qué razonamiento habéis seguido?
—No sé, lo he dibujado.
Aunque parezca que lo habéis hecho automáticamente, algo habéis pensado ¿cómo habéis decidido cuánto debía medir el lado de cada cuadrado para que saliera bien a la primera?

Teniendo eso en cuenta, dibujad ahora un cuadrado cuya área mida 289 unidades. Da mucha pereza ponerse a contar cuadraditos de uno en uno, pero seguro que tenéis un método más rápido para conseguirlo.

Se trata de buscar una cantidad que, multiplicada por sí misma, (elevada al cuadrado) dé como resultado otra determinada cantidad, en este caso, 289.
Eso es precisamente lo que significa calcular una raíz cuadrada. Así que el lado del cuadrado debe medir 17 unidades.

Bien, tras estas tareas de calentamiento, vamos al lío. Dibujad un cuadrado que ocupe un área de EXACTAMENTE 2 unidades cuadradas. Parece que, en este caso, usar la calculadora no es la mejor estrategia, ya que el área debe ser exacta.

Si no tenéis claro cómo hacerlo, pensad que, para afrontar un problema nuevo, siempre conviene mirarlo desde distintas perspectivas. (Guiño, guiño).

Otra pista más. Fijaos en este triángulo. ¿Cuánto mide su área? ¡Seguro que ahora ya lo tenéis!

Perfecto, pues ahora decidme cuánto mide, EXACTAMENTE, el lado de ese cuadrado.
—Mide 1,4142135623731.

Esas son solo sus primeras cifras decimales. En realidad tiene infinitas y no siguen ningún orden. Pero ¿cómo podemos expresar ese número de manera exacta?
—Es imposible, al poner raíz de dos en la calculadora nos da eso.

¡Efectivamente, muy bien! El número en cuestión es "raíz de dos" y la manera de expresar su valor exacto es precisamente escribiendo: √2, lo cual significa "aquel número que, multiplicado por sí mismo, da como resultado 2".

√2 es un número de pleno derecho, como 7, 2/3 o 1,75 y sirve para expresar medidas. Sin embargo, no es ni entero, ni decimal exacto, ni decimal periódico y no se puede representar en forma de fracción. Se trata de otro tipo de número: un NÚMERO IRRACIONAL.

Pues si se trata de un número, podremos operar con él igual que lo hacemos con el resto de números. ¿Cuánto mide, por ejemplo el perímetro del cuadrado?

Y si ahora dibujamos un cuadrado cuyo lado mida el doble que el del cuadrado anterior, ¿cuánto medirá dicho lado? ¿Y el área del nuevo cuadrado? ¿Qué relación guarda con la del cuadrado anterior?

Espera un momento, si el lado es el doble, debe medir 2√2. Pero el área del nuevo cuadrado es de 8 unidades, ergo, el lado debería medir √8. ¿Significa eso que 2√2 y √8 son, en realidad la misma cantidad? ¿Sabrías explicarlo?

Bueno, ahora que ya lleváis carrerilla, os planteo otras cuestiones para seguir profundizando:
- Dibujad un cuadrado de área igual a 5 unidades cuadradas y otro de 10 unidades cuadradas. Explicad cómo los habéis conseguido.

- Si os pido que dibujéis cuadrados cuyas áreas midan, respectivamente, 3, 13, 15 y 18 unidades cuadradas, ¿cuáles de ellos podréis dibujar empleando el "método" anterior? ¿Por que en los otros casos no es posible hacerlo?

- Ingeniáoslas para dibujar un cuadrado de área igual a 3 unidades cuadradas. Puede que os ayude utilizar una escuadra y un compás.

- Construid un rectángulo cuyos lados midan, respectivamente, √2 unidades y √5 unidades. ¿Cuánto mide su área?

Esta actividad está inspirada en esta otra que compartía hace unos días @CcBcnMvd y que también llevaremos al aula en breve. ¡Muchas gracias!