Una suma de infinitos términos puede converger a un valor concreto, pero no siempre es el caso. Si esto se cumple, decimos que la serie, o suma, converge. Si el resultado es infinito decimos que diverge. Hoy queremos hablar de la serie armónica. Y queremos demostrar que diverge. 
Esta es la serie: una suma de los inversos de los números positivos, desde el 1 hasta el infinito. Y por curioso que parezca ver como una serie de números cada vez más y más pequeños da infinito, este es el caso.
La demostración de que esta serie diverge nos la proporcionó Nicolás Oresme en el año 1350. Y es una demostración que personalmente a nosotros nos gusta mucho, pues, lejos de los criterios de convergencia que se suelen usar, es simple, elegante y contundente.
Una forma de demostrar que una serie diverge es compararla con otra que sabemos que diverge y que sea menor que la primera. Este es el caso. Oresme comparó la serie armónica con esta otra serie, que tiene todos sus términos iguales o menores a la serie armónica.
Y también es muy fácil ver, que la suma de sus infinitos términos será infinita. El primer término suma 1 a partir de ahí siempre se puede llegar a sumar un medio. Y sí, es cierto que cada vez hacen falta más términos, pero es una suerte que tengamos infinitos de estos.
Por tanto, si esta serie que es menor que nuestra serie armónica diverge, la armónica también debe hacerlo. Como ya hemos dicho, una demostración simple, elegante y contundente.
