Je suis fasciné par la proportion de copies (genre 90%) qui veulent utiliser le théorème de convergence dominée pour justifier que si f_n → f dans L² et g ∈ L², alors ∫(f_n · g) → ∫(f·g). En lisant l'énoncé, je n'avais même pas envisagé une possible difficulté à cet endroit.
Et le pire, c'est que des malins s'en tirent quand même (la question était en fait que si ∫(f_n · g) = 0 pour tout n alors ∫(f·g)=0: ils prennent une suite extraite des f_n qui converge p.p. et qui est dominée dans L², et appliquent Hölder puis le thm de convergence dominée)!
Je ne dis pas ça pour dire «ces élèves sont nuls»: là c'est clairement un problème d'enseignement, nous leur avons donné l'impression que quand on veut passer à la limite dans une intégrale c'est forcément le thm de convergence dominée qu'il faut appliquer, …
… et du coup ils ne savent rien faire des autres convergences, dans L² ou L¹ disons. Soit ils les confondent sans rien dire de plus, soit ils voient la différence et se sentent obligés de prendre une suite extraite pour se ramener à la convergence p.p.
Précisons que la réponse «attendue» était 🔽 (je donne trois variantes équivalentes, dans le tweet cité et les deux au-dessus de lui; en tout cas le point-clé était Cauchy-Schwarz ou Hölder):
https://twitter.com/gro_tsen/status/1496932908057174025
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