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Apr 10, 2022 15 tweets 5 min read Read on X
#DivulgandoMatemáticas

#Hoy quiero comentar una #curiosidad que ilustra muy bien cómo aprovechar una fórmula con ingenio

¿Has pensado alguna vez cómo hace una calculadora para calcular el seno de un ángulo?

Siguen 14 tuits ⬇️⬇️⬇️
Lo que se le suele ocurrir a todo el mundo es incluir tablas más o menos detalladas con alguna regla de interpolación

Y también acudir a expresiones matemáticas que permiten aproximar el valor del seno de x usando polinomios
Hoy en día no hay grandes restricciones de memoria ni de capacidad de cálculo en las calculadoras que usan los estudiantes

Pero no hace mucho había que optimizar ambos factores

Lo que sigue es una forma muy ingeniosa de conseguirlo
Primero vamos a recordar la representación del seno y coseno en el círculo unidad

Y unas fórmulas que permiten obtener los valores del seno y coseno de un ángulo a partir de los valores de otro ángulo
Habrás visto que el seno y el coseno pueden verse como las componentes de un vector unitario que forma un ángulo alfa

Y que haciendo una multiplicación matricial podemos “rotarlo” un ángulo beta que, por cierto, puede ser positivo o negativo
Esa expresión va a ser muy útil porque dado un ángulo cualquiera, podemos llegar a él a partir de ángulos conocidos

Fíjate
En el GIF anterior limitamos la posición del vector

Primero vimos que era mayor de 45º, por lo que nos ubicamos a mitad de camino entre 45º y 90º (67.5º)

Allí vimos que el ángulo de nuestro vector es menor, por lo que nos ubicamos a mitad de camino entre 67.5º y 45º
Repitiendo el proceso con la mitad de incremento de ángulo en cada paso, nos acercarnos al ángulo buscado tanto como queramos

Y como podemos hacerlo siempre con los ángulos 45, 45/2, 45/4, … la fórmula que vimos para rotar un vector nos llevará al seno y al coseno del ángulo
Aquí tienes unos ejemplos que he calculado para convencerte

Usa 20 pasos y proporciona el valor correcto con 5 decimales
Pero es posible optimizar la tabla y los cálculos necesarios

De nuevo, la trigonometría proporciona unas fórmulas muy útiles
Con la expresión obtenida en el GIF anterior se han logrado dos cosas
- Necesitar únicamente el valor de la tangente
- Sacar un factor común fuera de la matriz de rotación que no depende del sentido de giro
La ventaja de la primera es evidente pero la segunda permite olvidarse de ese cálculo de raíz cuadrada.

Si el número de pasos es fijo, podemos tener pre-calculado el valor resultante y aplicarlo al final del proceso
Pero hay más
Hemos conseguido una matriz compuesta sólo por 1 y tangente de beta

¿Y si hacemos que la tangente de beta sea 1/2, 1/4, 1/8 …?

No es tan eficaz como usar la mitad de ángulo pero ¡dividir por potencias de 2 en binario está chupado! y nos ahorramos las tangentes
Es decir, podemos calcular el valor del seno de un ángulo con una precisión de 5 decimales usando una tabla con 20 valores (los ángulos incrementales) y el factor de ajuste final

¿No es ingenioso?

Aquí tienes los ejemplos de antes añadiendo en naranja el cálculo optimizado
Ojo, para que la comparación anterior fuera justa, no se incluía el “truco” de aplicar el factor corrector al final

FIN

Gracias por leer
¿te gustó?
¿lo conocías?

Por cierto, este algoritmo se llama CORDIC (COordinate Rotation DIgital Computer) por si quieres investigar más

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Jun 23, 2022
#DivulgandoMatemáticas

Este es el hilo prometido en reacción a lo comentado por Omar Montes en el programa El Hormiguero sobre que las matemáticas no valen para nada

Es un ejemplo curioso de lo importante que puede ser calcular una raíz cuadrada

Siguen 8 tuits (+1 bonus) ⬇️
El 2 de diciembre de 1999 salía al mercado el videojuego Quake III Arena

Evolución de aquella primera versión Quake de junio de 1996 que empleaba verdaderos modelos 3D tanto para los jugadores y enemigos como para el mundo en el que se desenvuelven
Espectacular ¿verdad?

Hacer eso en un PC o consola de la época requería mucho ingenio que se plasmaba en curiosos trucos y optimizaciones

Quizá la más famosa sea la usada para calcular el inverso de la raíz cuadrada de un número
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Jun 21, 2022
#DivulgandoMatemáticas

Ayer preguntaba si se seguían haciendo divisiones de polinomios

Y como por lo visto así es, hoy traigo como #curiosidad una forma alternativa de hacerlo y una comprobación rápida al estilo de la prueba del 9

Siguen 7 tuits ⬇️⬇️
Primero recordemos la forma habitual de hacerlo
Y ahora hacemos el mismo ejemplo de otra manera

Calculando en primer lugar el grado del polinomio resultado y dando valores "inteligentes" a la x para averiguar sus coeficientes
Read 8 tweets
May 9, 2022
#Hoy voy a hablar de los ordenadores más “locos” que hayas visto nunca

¿Te animas?

Este hilo participa en el #CarnaMat13_2 que organiza @gaussianos
@CarnaMat

Siguen 17 tuits ⬇️⬇️ Image
No hablaré de las primeras calculadoras mecánicas

Tampoco de aquellos juguetes de los años 60 como DigiComp I (3 flip-flops mecánicos y programables) y DigiComp II (que no es programable pero permite hacer operaciones haciendo caer canicas por una estructura) ImageImage
Tampoco hablaré de ordenadores construidos “dentro de ordenadores”

Sí, hay quien ha logrado construir ordenadores en el juego de la vida de Conway, en el PowerPoint y en el Minecraft

No dejes de echar un vistazo a esto
Read 18 tweets
Apr 21, 2022
#DivulgandoMatemáticas

¿Sabes que es posible resolver ecuaciones de 2º grado con regla y compás?

Siguen 12 tuits en los que te cuento la manera que describió René Descartes.

Además explico de dónde sale (porque él no dijo nada), aporto una alternativa y una gamberrada final
El “Discurso del Método” es la obra más conocida de Descartes y tiene 3 apéndices

El primero de ellos, “La Geometría”, comienza con “Problemas que pueden construirse con círculos y rectas solamente”

Fue publicado en 1637 y aquí tienes hojeado de las primeras páginas
He parado en la parte que el autor muestra cómo encontrar la solución de ecuaciones de 2º grado

¡Ojo! Hay que tener en cuenta que estamos hablando de soluciones geométricas, por tanto no esperes encontrar soluciones negativas o complejas
Read 13 tweets
Jul 18, 2021
#DivulgandoMatemáticas

Hoy vuelvo a mostrar usos matemáticos poco conocidos de la hoja de cuadritos del cuaderno

Esta vez te enseñaré a usarla para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (m.c.d.) de 2 números

¿Te apetece? Son 3 tuits más 👇
Pero antes una reivindicación

Me parece horrible el nombre que le hemos dado en español a estos conceptos

Creo que hubieran sido mucho más claros y entendibles:

Mayor divisor común

Menor múltiplo común

¡Hala! Ya está dicho, ahora a por la curiosidad
En esta ocasión no pondré mucho texto, sólo un GIF que explica el caso de m.c.m. y otro GIF para el m.c.d.

Aquí tienes el primero:
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Jul 17, 2021
#DivulgandoMatemáticas

Hoy voy a comentar sobre el desarrollo en serie de Taylor

Mostraré ejemplos en los que se puede hacer sin fórmula (incluso algunos sin derivar) y una relación sorprendente y bellísima con un resultado (de Newton nada menos)

¿Te apetece? (van 7 tuits) 👇
Sabrás que el desarrollo en serie de Taylor permite aproximar una función en torno a un punto mediante un polinomio

Yo usaré la aproximación en torno al 0

Se obtiene con esta fórmula y básicamente requiere obtener el valor de las derivadas (primera, segunda, ...) de la función Image
A veces se puede obtener sin conocer la fórmula

El caso típico es la función exponencial
Sabemos que vale 1 en x=0 y que su derivada es ella misma

¿Podemos obtener el polinomio sólo con eso?

Sí, fíjate en este GIF

Se deriva el polinomio y se van igualando los coeficientes
Read 8 tweets

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