Thread by @idrissaberkane

Okay je viens de publier quatre lemmes et un théorème fondamental sur le (légendaire) problème de Syracuse dans la revue à comité de lecture "Mathematics" et je me disais que je pourrais vous vulgariser un peu tout ça.

mdpi.com/2227-7390/10/1…

#Thread

Le Problème de Syracuse ou Conjecture de Collatz est d'une beauté aussi profonde que sa simplicité. Prenez un nombre entier. S'il est pair vous le divisez par deux, s'il est impair vous le multipliez par 3 et ajoutez 1 (on appelle aussi ce problème "3n+1"). Ensuite vous répétez.

La Conjecture de Collatz affirme que tous les nombres entiers finissent toujours par arriver à 1 si vous répéter ces opérations. Ça a l'air simple, mais en mathématique réitérer des opérations simples ça donne vite des trucs (très) compliqués

Par exemple si vous répétez l'opération x au carré + constante, la carte des constantes pour lesquelles cette suite ne part pas vers l'infini ressemble à ça (ici on a ajouté du contraste pour distinguer les cas qui prennent beaucoup d'itérations) que l'on appelle le "Buddhabrot"

Notez qu'on l'appelle Buddhabrot en référence au Bouddha et à Benoît Mandelbrot, mais c'est en réalité le génial mathématicien français Gaston Julia qui l'a découvert, juste à son époque on n'avait certainement pas les machines pour visualiser cette merveille.

L'époque de Gaston Julia c'était l'horreur de la Première Guerre Mondiale qui aura transformé ce beau et intelligent jeune homme né en 1893 à Sidi-Bel-Abbès en ce plus que méritant récipiendaire de la Légion d'Honneur... mais je digresse

La Conjecture de Collatz est tout simplement un des problèmes mathématiques les plus difficiles de tous les temps. Pour vous donner une idée, voilà ce que le pourtant génial et courageux @VillaniCedric en écrivait en 2013:

« Ce n'est certes pas moi qui essaierai : outre que cela semble d'une difficulté phénoménale, ce n'est pas ma tournure d'esprit ; mon cerveau n'est pas entraîné à réfléchir à ce type de problèmes »

En fait Terence Tao, un des plus exceptionnels mathématiciens encore au travail aujourd'hui (le plus grand est le génie excentrique Grigori Perelman mais ce dernier vit chez sa mère, a refusé la Médaille Fields et un million de dollars et ne publie plus de mathématiques)...

...eh bien Tao donc n'a pu, en s'acharnant sur le problème jusqu'en 2019, ne démontrer que "presque toutes les trajectoires atteignent une grandeur presque finie", un résultat limité qu'il atteint par une démonstration complexe et qu'il ne publie pas dans une revue à comité

Il y a un an je publiais un autre article, fruit de sept années de travail acharné et parachevé par une équipe internationale que j'ai eu l'honneur de diriger, dans lequel nous montrions notamment, et pour la première fois, quelle forme peut avoir un "attracteur de Collatz"

Ça ressemble à ça, et ça a de nombreuses applications potentielles en cryptographie. (en vert c'est l'attracteur du nombre 31, un nombre de Mersenne donc il s'écrit 11111 en base 2. Après avoir été Collatzé il s'écrira 12222 en base 3; c'est normal et démontré)

Au coeur de cet attracteur se trouve... un coeur justement (en réalité la troncature du raccommodage de deux variétés algébriques mais on va dire coeur okay?), un type d'enveloppe que j'ai spécifiquement inventé pour attaquer Syracuse mais qui a d'autres applications

L'immense difficulté du problème de Syracuse vient de ce que "les conversions entre les bases 2 et 3 n'ont pas de structure commune connue", un principe auquel le génie Hillel Furstenberg a consacré une grande partie de sa vie de mathématicien. C'est lui là:

Concrètement ça veut dire que si vous prenez ce nombre en base 2, bien organisé bien propre sur lui :
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Eh ben il s'écrira comme ça en base 3:

2002122121011101220102010210020102000210011100122221002112102021022221102202020101221000021200201121121100121121

Ça a l'air random et c'est normal : en fait c'est (salement) pseudoaélatoire.

Mais le coeur au centre de l'attracteur de Collatz autorise maintenant une toute nouvelle compréhension de ce problème fondamental en mathématiques.

Alors ce nouvel article du coup? Son seul et unique but dans la vie est de prouver que quand vous tirez un attracteur de Syracuse à l'infini, il aura autant de branches qu'il y a de nombres réels. On appelle ça "la puissance d̶e̶ ̶l̶a̶ ̶f̶o̶n̶k̶ du continu"

Parce que oui l'ensemble des nombres réels est beaucoup plus infini que l'ensemble des nombres entiers (si si, c'est comme ça, et la méthode de démonstration du fait que c'est comme ça par Georg Cantor est à la base du célébrissime théorème d'incomplétude de Gödel)

Qu'est-ce que j'ai fait et quel est l'intérêt de le faire? D'abord j'ai prouvé que tout attracteur d'un nombre impair dans Syracuse est la simple clôture de ce nombre par trois opérations (c'est-à-dire toutes les itérations possibles de ces opérations sur ce nombre)

Ensuite j'ai prouvé que si vous comptez tous les nombres impairs qui peuvent s'écrire avec n+1 chiffres en base 2 et qui sont dans l'attracteur de 1, ben diviser ce nombre par 2 à la puissance n tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Mathématiquement ça s'écrit comme ça :

Et ça c'est plus puissant que Tao 2019 parce que ça montre directement que "presque toutes les orbites de Collatz tendent vers 1" pas "tendent vers une valeur presque finie".

Ça montre aussi que la proportion de l'ensemble des nombres qui ne convergent peut-être pas vers 1 dans Syracuse sur celle des nombres qui convergent tend vers zéro donc. Ce qui s'écrit comme ça:

Ah mais par contre j'ai aussi démontré que n'importe quel attracteur de Syracuse, pour n'importe quel nombre impair, avait autant de branches qu'il y a de nombres réels si on le poussait à l'infini.

Ça veut dire que si d'une part la proportion des nombres non convergeants tend vers zéro par rapport à celle des nombres qui convergent, d'autre part la proportion de l'attracteur de tout impair ne tombe JAMAIS à zéro. Pour un impair x de longueur binaire m ça s'écrit comme ça:

...Ce qui a des conséquences non-triviales que nous laisserons aux lectrices et lecteurs les plus alacres.
@MathematicsMDPI
#Fin