Thread by @scnycc

🧵🌀🌪️En el hilo de hoy vamos a aprender de una magnitud fundamental en meteorología: la vorticidad. Lo haremos con ayuda de los giros en lafísica, bailarinas, tormentas, montañas y flechas. Hablaremos también de la vorticidad potencial ¡No te marees!

Primero haremos un repaso a las magnitudes que tienen que ver con el giro en física, luego introduciré la vorticidad y por último la vorticidad potencial y veremos algunos ejemplos.
Hilos que recomiendo ver antes
Para física básica

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Primero voy a hablar de algunas magnitudes que se usan para medir el giro. Si por ejemplo, lo que queremos es ver la velocidad a la que gira una prenda en una lavadora necesitamos medir su velocidad angular, que se mide en radianes/segundo o revoluciones/minuto

La velocidad angular se usa en movimientos curvilíneos. En movimientos circulares es muy fácil de calcular porque el radio no cambia, pero en otros es más complicado. Se mide calculando lo que el ángulo de un objeto con el tiempo, formalmente sería una derivada.

La variación de la velocidad angular con el tiempo sería la aceleración angular. Esto es lo que sería la cinemática y se suele describir mejor en coordenadas curvilíneas como las polares o cilíndricas. Pasemos a hablar de las magnitudes dinámicas.

Si queremos tener una idea de la cantidad de rotación que lleva un objeto tenemos que medir su momento angular, que depende la distancia a un punto, la velocidad y la masa. Esta forma puede variar, ya que se puede usar la velocidad angular o el momento de inercia I.

En el momento de inercia I suelen estar recogidas las relaciones del objeto o partícula con la distancia a los ejes y la masa. El caso más simple es si tenemos un eje que es fijo y un solo punto, por ejemplo el de la bailarina que gira más cuanto más encoge los brazos.

Esto sirve para el caso en el que se conserva el momento angular. En el caso de la bailarina como disminuye la distancia al eje (r) debe aumentar la velocidad angular para conservarlo, que se puede dar si no actúa, fuerzas exteriores o si el producto vectorial r por F es 0.

Por eso al cambio del momento angular con el tiempo se le llama momento de la fuerza o torque (τ). Estos han sido casos muy simples, pero si se complicara habría que usar las ecuaciones de Euler y la teoría del sólido rígido.P ejemplo si tenemos una esfera que gira como la Tierra

Estas magnitudes se aplican mayormente en cuerpos sólidos, pero para el caso de un medio continuo fluido como el aire o el agua es más complicado porque se puede deformar y estirar más fácilmente, siendo muy difícil escoger un eje o un punto fijo que facilite las cosas.

En fluidos se usan como magnitudes que miden la rotación la circulación y la vorticidad. La primera es escalar y representaría una medida macroscópica de la rotación y la segunda es vectorial y representaria una medida microscópica.

Imagina que tenemos un trozo de aire y que describimos el giro en cada punto con estas flechitas. Después rodeamos el contorno con el cuadrado negro. La circulación sería la integral de línea de la velocidad alrededor de ese contorno.

Para refrescar un poco esa memoria, esa integral es del mismo tipo que describía la ley de Ampère del magnetismo. Para un círculo el campo B sale fuera de la integral y es simplemente la longitud del círculo. Para el cuadrado hay que hacer la integral por cada lado del cuadrado.

Para el caso de la circulación del fluido en un círculo, cambiamos en la imagen de antes B por v y al integrarlo tenemos v y R, por lo que podemos sustituirlo por la velocidad angular (Ω) o el momento angular y ya tenemos manera de relacionar circulación con rotación.

En ese caso la circulación sería 2π *el momento angular, pero en otros contornos se complica la cosa. Por eso puede ser útil usar el teorema de Stokes, que nos cambia la integral de línea por una integral de área

Este teorema se aplicaba al campo magnético para obtener las ecuaciones de Maxwell. El ∇x es el operador rotacional, del que os hablé en el hilo que mencioné al principio y da una idea de como un campo vectorial induce rotación, como la velocidad.

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El rotacional de la velocidad es lo que llamaremos vorticidad (ω) y se pueden representar como flechas girando alrededor de un punto, siendo las flechas un campo de velocidad. La vorticidad sería la circulación por unidad de área.

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La vorticidad se define como la rotación de un elemento de fluido sobre un eje a través del elemento. Es importante distinguirlo del movimiento circular, como muestra esta imagen, en la imagen en el movimiento de A a B no hay vorticidad, pero de C a D sí.

Podemos relacionar vorticidad y circulación si realizamos la integral de línea para este trocito de fluido usando coordenadas naturales (izquierda), que ya vimos en el hilo del viento de gradiente y eran las que se usan para describir la aceleración (derecha)

Esta sería la deducción, quedaos con el resultado final. Lo que no es el área del contorno sería la vorticidad y son 2 términos:la vorticidad en cizalla que se produce porque cambie la velocidad al cambiar la dirección y la vorticidad que se genera por curvatura de la trayectoria

Una se cancela con la otra. Por ejemplo en esta trayectoria no habría vorticidad por ese motivo, se curva y a la vez cambia la velocidad con la dirección. En un sistema de coordenadas cartesianas sería más difícil describir esto

La vorticidad y circulación se suelen dividir en meteorología en dos componentes: una que describe la que genera el giro del planeta y otra la que lleva la parcela del aire, por ejemplo una borrasca. La suma de estas dos es la absoluta.

Vamos a hablar de otro teorema importante. El cambio de la circulación con el tiempo depende directamente de la aceleración de la parcela, por lo que podemos sustituir el resultado que se obtenía al usar la 2ª ley de Newton en la atmósfera. Detallo la deducción aquí.

Esto se conoce como el teorema de Kelvin. Esta integral se hace 0 si el fluido es barotrópico, es decir si la densidad solo depende de la presión, ρ(p) y viceversa. En caso contrario se dice que es baroclínico.

Un ejemplo de este último caso lo es la circulación de una brisa. Las isobaras se van inclinando con la altura debido a la diferencia de temperatura de agua y tierra, lo que genera circulación y, por tanto, aceleración en la brisa. En la realidad, la fricción puede reducirla

En el Holton tenéis detalles de esto y usa la ecuación del gas ideal. En el caso contrario, el de fluido barotrópico, como podemos separar la circulación en planetaria y relativa, por lo que los cambios temporales de uno dependerían del otro.

Al ser la circulación planetaria la relación entre la velocidad angular del planeta y un área, esta dependerá del parámetro de Coriolis f y de la latitud Φ, por lo que la circulación relativa de una parcela cambiaría si se dirige a otra latitud porque cambia la planetaria.

Este es el teorema de circulación de Bjerkes y se da en fluidos barotrópicos. Ahora vamos a pasar a centrarnos en la vorticidad y a obtener la ecuación completa que describe sus cambios. Para obtenerla se aplica el rotacional a la ecuación de movimiento.

Usando distintas propiedades vectoriales (mirad la bibliografía al final) y que el rotacional de la gravedad es 0 (es una fuerza conservativa), se llega a la ecuación de vorticidad. La gravedad no afecta a la vorticidad y Coriolis influye a través de la vorticidad planetaria.

Vamos a comentar cada uno de los términos.
El primero (el verde) es el del giro de tubo de vórtices. En esta imagen del Pedlosky (editada por @MartinOlalla_JM) da una idea de lo que hace el término. En azul se marca la línea de vórtices, que solo tiene componente vertical.

Como ese término tiene un nabla, es esencialmente vorticidad*cizalladura, por lo que la cizalla (cambio de u con z) está generando vorticidad en la horizontal, inclinando el turbo de vórtices. Este término es muy importante en tormentas y en formación de tornados.

Esto junto con el término de vorticidad en cizalla que vimos antes muestran su importancia en las tormentas. La inclinación del tubo de vórtices horizontal debido a la cizalla es lo que acaba generando el tornado. En otras situaciones genera tolvaneras.

El segundo término y + importante (el rojo) es el de convergencia y divergencia, se llama así porque tiene el término (∇v), del que hablamos en otras ocasiones. Por la ecuación si hay convergencia ∇v<0 se genera vorticidad. Es el equivalente al caso de la bailarina.

El tercer término es el baroclínico y el nombre nos da una pista. Está relacionado con el teorema de la circulación de antes. Si el fluido es barotrópico ρ(p) ese producto vectorial será 0 porque ambas magnitudes están en el mismo plano.

El último término es el de rozamiento y podríamos relacionarlo con la capa límite atmosférica, en la que hay una circulación secundaria en la que en bajas presiones generan movimiento vertical ascendente y por tanto vorticidad positiva, de forma similar al 2º término.

Esto se llama bombeo de Ekman y se produce de forma similar en el océano. Además la vorticidad suele decaer con el tiempo en lo que se llama spin-down. Lo detallaremos próximamente en un hilo relacionado con la capa límite

Si hacemos un análisis de escala como ya se vio en otro hilo con las ecuaciones primitivas, veremos que los términos más importantes son el de la componente vertical de la vorticidad y el término de la divergencia en el que las derivadas respecto a z son despreciables.

Por lo que nos quedaría esta ecuación. Los dos primeros términos se pueden unificar en la derivada del logaritmo de ζ+f. Si hay convergencia ∇v>0 y el logaritmo del valor decrece indefinidamente hasta que ζ tiende a -f. Sería el caso de un anticiclón (-f).

En el caso contrario ∇v<0 (despreciando la derivada vertical), el valor absoluto crecería indefinidamente y como f suele ser más grande, ζ va en el mismo sentido que f, como en el caso de ciclones.

Vamos a hablar por último de otra magnitud que es muy importante en meteorología. Es la vorticidad potencial. La temperatura potencial por definición está relacionada con la presión, por lo que si se conserva una la otra también se puede conservar

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Es decir que en una superficie de temperatura potencial constante (o entropía constante) la densidad solo depende de la presión (ambas se relacionan por el gas ideal), como es en el caso de un fluido barotrópico. Entonces en una área isoentrópica la circulación se conserva.

Por la definición de la circulación, el producto de vorticidad x área se conservará en esta superficie, aquí la vorticidad se expresarán en coordenadas de temperatura potencial constante. Por otro lado, la presión sabemos que es fuerza/área y po

Sustituyendo en la conservación de circulación se obtiene una magnitud que es constante y que contiene a la vorticidad y al gradiente vertical de temperatura potencial, es la vorticidad potencial de Ertel.

Así lo explican en el Holton, pero a mí me gusta más como lo hacen en algunos libros de fluidos más generales como el Pedolsky. Aquí parte de una magnitud cualquiera que combina con la ecuación de vorticidad y usa propiedades de derivadas para llegar a la ecuación + general.

La ecuación de vorticidad potencial más general sería esta. En un fluido barotrópico y sin rozamiento, el primer y tercer término se harían 0 y si la magnitud λ no cambia con el tiempo, S sería 0, por lo que obtendríamos una conservación de esa magnitud.

Esa podría ser la temperatura potencial y como la derivada vertical de esta es más importante, llegaríamos a la vorticidad potencial de Ertel de antes. El caso λ=z se usa más en oceanografía y en aproximaciones de aguas poco profundas

La vorticidad potencial de Ertel la podemos ver así, si la variación vertical de la temperatura potencial cambia, la vorticidad total lo tiene que hacer para conservar la potencial. Esto implica un cambio en el tubo de vórtices, que cambia su forma por la ecuación de vorticidad.

Este caso se puede aplicar a un viento que atraviesa una cadena montañosa. El ascenso y descenso de la montaña hace que cambie la derivada de la temperatura potencial, por lo que para conservar la vorticidad potencial, la relativa y absoluta irán cambiando.

Si el viento va hacia el este los desvíos producido por Coriolis serán diferentes si el viento va al oeste (mirad el plano x-y). Por eso las cadenas montañosas pueden alterar trayectorias de ciclones tropicales o de borrascas.

La conservación de la vorticidad se usa para el estudio de la atmósfera barotrópica y las ondas de este tipo y la de la vorticidad potencial para la atmósfera baroclínica.

Referencias.
-Imágenes de física: Hyperphysics hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi.html
-Pedlosky. Fluid Dynamics of the Atmosphere and Ocean. Cap 7 y 8 + lo que me dio @MartinOlalla_JM en su asignatura de meteo, de las que he tomado un par de imágenes earthweb.ess.washington.edu/roe/Web_page_5…

En ese último libro se explica bien cómo obtener la ecuación de vorticidad y la potencial completas. Me gusta más que el Holton
-Holton. An Introduction to Dynamics Atmoshpere. Cap 4.