Estos días estoy hablando mucho sobre teoría de grupos, un área matemática muy importante para la física moderna. Como puede que muchos no conozcáis la razón de esta relación tan interesante, he pensado que puede estar divertido explicarlo en un #AvelHilo 🧵
Un grupo es una estructura formada por un conjunto y una operación interna entre sus elementos, de modo que al combinar cualquier par de ellos obtenemos uno también en el conjunto y que satisface:
▶️ Asociatividad
▶️ Existencia del elemento neutro
▶️ Existencia del inverso
▶️ Asociatividad
▶️ Existencia del elemento neutro
▶️ Existencia del inverso
Un ejemplo sencillo de grupo es el conjunto de los números enteros y la suma.
La suma de cualquier par de enteros da un entero. Además, tiene la propiedad asociativa, cuenta con elemento neutro (el 0) y todo entero cuenta con un inverso respecto de la suma (a y -a).
¡Grupo!
La suma de cualquier par de enteros da un entero. Además, tiene la propiedad asociativa, cuenta con elemento neutro (el 0) y todo entero cuenta con un inverso respecto de la suma (a y -a).
¡Grupo!
En la @FacFisicaUV estas cosas tan curiosas se dan en la asignatura “Álgebra y geometría I”, con profesores tan buenos como @UniversViolent y @susan_ploych. Una de las favoritas del alumnado, tanto por la materia como por los buenísimos docentes que la imparten. 👏👏
Vale, muy curioso esto de los grupos. Pero... ¿sirven para algo?
A esto tengo dos respuestas:
1⃣ Las #matemáticas son interesantes por sí mismas, no hace falta que “sirvan para algo”.
2⃣ ¡Y tanto! Os voy a contar por qué la teoría de grupos tiene un papel central en la física.
A esto tengo dos respuestas:
1⃣ Las #matemáticas son interesantes por sí mismas, no hace falta que “sirvan para algo”.
2⃣ ¡Y tanto! Os voy a contar por qué la teoría de grupos tiene un papel central en la física.
En la física moderna nos interesa mucho el concepto de simetría. Una simetría es una transformación de un sistema que lo deja igual que está. Por ejemplo, una esfera no cambia al aplicarle una rotación. Hay cientos de ejemplos en física, algunos sencillos y otros abstractos.
Las simetrías simplifican el estudio de un sistema ya que nos permiten detectar fácilmente las variables son relevantes, lo cual viene de cine cuando estamos resolviendo un problema. 😆
Pero además, las simetrías también nos pueden revelar algo algo más profundo. 😏
Pero además, las simetrías también nos pueden revelar algo algo más profundo. 😏
Según el teorema de Noether, a toda simetría continua le corresponde una cantidad conservada. Es decir, si detectamos una simetría en un sistema, sabemos que tiene que haber algo constante en el tiempo. Le debemos esta conexión tan profunda y maravillosa a la gran Emmy Noether. 
¿Y esto qué tiene que ver con teoría de grupos?
¡Ya llegamos! La cuestión es que muchas de las transformaciones que podemos aplicar a un sistema físico tienen precisamente la estructura matemática de un grupo.
Si te has quedado con cara de WTF (esta: 😮) lee el siguiente tuit.
¡Ya llegamos! La cuestión es que muchas de las transformaciones que podemos aplicar a un sistema físico tienen precisamente la estructura matemática de un grupo.
Si te has quedado con cara de WTF (esta: 😮) lee el siguiente tuit.
Pensemos en las rotaciones.
✅La aplicación de dos rotaciones es equivalente a otra rotación
✅Son asociativas
✅Existe la rotación neutra (equivalente a no rotar nada)
✅Existe la rotación inversa (de ángulos opuestos)
OMG 😱
¡Las rotaciones forman un grupo!
✅La aplicación de dos rotaciones es equivalente a otra rotación
✅Son asociativas
✅Existe la rotación neutra (equivalente a no rotar nada)
✅Existe la rotación inversa (de ángulos opuestos)
OMG 😱
¡Las rotaciones forman un grupo!
En concreto, en espacio tridimensional, las rotaciones de un objeto vienen descritas por un grupo matemático llamado SO(3). Se trata de un grupo de propiedades muy bien conocidas, estudiado en gran detalle por las matemáticas… algo que nos resulta muy útil en la física.
Lo mismo sucede con otras transformaciones. Tanto a algunas tan intuitivas como las traslaciones espaciales como a otras tan abstractas como los cambios de fase en la electrodinámica. Hay grupos matemáticos detrás de todo.
Por eso la teoría de grupos se ha convertido en una herramienta fundamental para entender la estructura profunda de un sistema, sus simetrías y cantidades conservadas. De hecho, muchas teorías modernas se construyen en torno a sus simetrías, usando para ello teoría de grupos.
Un ejemplo sería el Modelo Estándar de la física de partículas, que cuenta con muchas simetrías. Además de varias simetrías espacio-temporales, se impone una simetría interna descrita por el grupo matemático SU(3) x SU(2) x U(1). Su significado lo dejamos para otro día...
Y bien, espero haberos convencido de otra maravillosa conexión entre las #matemáticas y la #física. Hermosa, potente y de gran impacto en la investigación actual. 🤩
No quiero concluir el hilo sin avisaros de que los que saben de verdad sobre estos asuntos son nuestr@s compañer@s de la @FMatemaUV_EG. Quien quiera profundizar en las matemáticas de la teoría de grupos que le pregunte a @EnCosme y sus colegas.
Este hilo ha salido de mi sorpresa al ver el interés que ha suscitado este tuit recomendando un libro de teoría de grupos. Pensaba que sería demasiado específico como para llamar la atención, pero veo que la comunidad #twitterfisica está siempre a tope.💪
https://twitter.com/AvelinoQuantum/status/1586824145072971780?s=20&t=vyVzN9U1Vwp_1WTrq40l_g
Y para terminar, os dejo con uno de mis grupos favoritos. Up the Irons! 🤘
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