#数楽 差分作用素をTf(n)=f(n+1)と書く。
a,b,cが異なるとき、
A aⁿ + B bⁿ + C cⁿ
は(T-a)(T-b)(T-c)の作用で消える。
(bⁿ-aⁿ)/(b-a)のb→aの極限naⁿ⁻¹なので
A aⁿ + A' naⁿ⁻¹ + C cⁿ
は(T-a)²(T-c)の作用で消える。続き
a,b,cが異なるとき、
A aⁿ + B bⁿ + C cⁿ
は(T-a)(T-b)(T-c)の作用で消える。
(bⁿ-aⁿ)/(b-a)のb→aの極限naⁿ⁻¹なので
A aⁿ + A' naⁿ⁻¹ + C cⁿ
は(T-a)²(T-c)の作用で消える。続き
https://twitter.com/genkuroki/status/1618669516128661505
#統計 c=a+hとおくと、
cⁿ = aⁿ + naⁿ⁻¹h + n(n-1)/2 aⁿ⁻² h² + O(h³)
なので、h→0のとき
(cⁿ - aⁿ - naⁿ⁻¹h)/h² →n(n-1)/2 aⁿ⁻².
ゆえに
A aⁿ + A' naⁿ⁻¹ + A'' n(n-1)/2 aⁿ⁻² = (nの2次以下の多項式) aⁿ
は(T-a)³の作用で消える。
一般の場合も同様。
cⁿ = aⁿ + naⁿ⁻¹h + n(n-1)/2 aⁿ⁻² h² + O(h³)
なので、h→0のとき
(cⁿ - aⁿ - naⁿ⁻¹h)/h² →n(n-1)/2 aⁿ⁻².
ゆえに
A aⁿ + A' naⁿ⁻¹ + A'' n(n-1)/2 aⁿ⁻² = (nの2次以下の多項式) aⁿ
は(T-a)³の作用で消える。
一般の場合も同様。
#数楽 特性方程式が重解を持つときにはJordan標準形を使うと覚えてしまった人がいるかもしれませんが、重解を持たない場合からの極限で重解を持つ場合も理解できます。
系を摂動したときの解の挙動の変化は重要なので、重解を持つ場合を持たない場合で近似することも重要です。
系を摂動したときの解の挙動の変化は重要なので、重解を持つ場合を持たない場合で近似することも重要です。
#数楽 そして、定数係数線形漸化式の場合に、Jordan標準形と重解を持たない場合からの極限の2つの方法が使えることを知った人は、漸化式と無関係に、「Jordan標準形の場合にも対角化可能な所へに摂動の様子がどうなっているか？」という問題を考えたくなるはず。
#数楽 こういう感じで、高校レベルの話題である定数係数の線形漸化式のような易しい話題であっても、方法を1つに固定せずに色々考えると、広がりが出て来てより楽しくなります。
#数楽 L=Tⁿ+p₁Tⁿ⁻¹+…+pₙT⁰のとき、
La(n)=0
型の斉次な定数係数線形漸化式を考えるだけではなく、与えられたf(n)に関する
La(n)=f(n)
型の非斉次な場合も考えるべきです。
f(n)が特別な数列なら非斉次の場合は斉次な場合に帰着できます。続く
La(n)=0
型の斉次な定数係数線形漸化式を考えるだけではなく、与えられたf(n)に関する
La(n)=f(n)
型の非斉次な場合も考えるべきです。
f(n)が特別な数列なら非斉次の場合は斉次な場合に帰着できます。続く
#数楽 もしも、f(n)があるM=Tᵐ+q₁Tᵐ⁻¹+…+qₙT⁰についてMf(n)=0を満たしているならば、La(n)=f(n)のとき、a(n)は
LMa(n)=0
という斉次な定数係数線形漸化式を満たします。これによってa(n)の可能な形が制限され、機械的にLa(n)=f(n)を解けます。
LMa(n)=0
という斉次な定数係数線形漸化式を満たします。これによってa(n)の可能な形が制限され、機械的にLa(n)=f(n)を解けます。
#数楽 以上とまったく同じことを Tf(n)=f(n+1) を D=d/dx に置き換えた場合にもできます。ほぼ自明です。
要するに、高校で定数係数線形漸化式について正しく理解していれば、定数係数線形常微分方程式についても本質的に理解していることになります。
要するに、高校で定数係数線形漸化式について正しく理解していれば、定数係数線形常微分方程式についても本質的に理解していることになります。
#数楽 個人的な意見では、非斉次な定数係数線形常微分方程式の特に重要な場合は、外部から強制振動力を与えている調和振動子です。
強制振動の周期を調和振動子の周期に一致させると共振が起こって振幅が無限に大きくなります。
周期がぴったり一致していない場合での近似の様子の分析も重要。
強制振動の周期を調和振動子の周期に一致させると共振が起こって振幅が無限に大きくなります。
周期がぴったり一致していない場合での近似の様子の分析も重要。
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