Thread by @genkuroki

#数楽

a(n+1)=3a(n)+2ⁿ は Ta(n)=a(n+1) を使えば

(*) (T-3)a(n)=2ⁿ

と書き直せる。(T-2)2ⁿ=0なので、

(*)⇒(T-2)(T-3)a(n)=0.

ゆえに(*)の解は

a(n)=A×3ⁿ+B×2ⁿ

と書ける。このとき(*)⇔B=-1.

以上の完全に機械的な解法は大幅に一般化可能。

https://twitter.com/tkawai18_tkawai/status/1619106617915756546

#数楽 Ta(n+1)=a(n)と書く。

(Tⁿ+p₁Tⁿ⁻¹+…+pₙ)a(n) = 0

の形の斉次方程式の解の形が完全にわかっていることを使えば、f(n)がそのような形の斉次方程式の解であるときの

(Tⁿ+p₁Tⁿ⁻¹+…+pₙ)a(n) = f(n)

の形の非斉次の場合も機械的に解ける。技巧的な式の変形技術は無用になる。

#数楽 そういう技巧を不要にする機械的解法は、

　ある種の方程式を満たす数列全体の集合が具体的に完全にわかっていること

から、ただちに出て来る。

ある街の様子を完全に知っていれば、その街で苦労無しに快適に暮らせるのと似ている。

#数楽 定数係数の線形漸化式を斉次と非斉次(右辺がnの多項式やαⁿのような形)の場合に大量に解いていれば、解として出て来る数列が決まり切った形になることに気付くはずで、気付いてしまえばその理由も結構すぐにわかるはず。

#数楽 別の例

(*) a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = (6n+1) 5^n

の右辺に(T-5)²を作用させると０になるので、(*)の解は

a(n) = A 2^n + B 3^n + (Cn + D)5^n

と書ける。これを元の(*)に代入すると、

a(n) = A 2^n + B 3^n + (n - 4) 5^n

であることもわかる。

wolframalpha.com/input?i=a%28n%…

#数楽 さらに別の例

(*) a(n+2) + 5a(n+1) + 6a(n) = 3(-3)^n

の右辺に(T+2)^2を作用させると0になるので、(*)の解は次の形になる:

a(n) = A (-2)^n + (B + Cn) (-3)^n.

これを(*)に代入すると、a(n)は次の形になることがわかる:

a(n) = A (-2)^n + (B + n) (-3)^n.

wolframalpha.com/input?i=a%28n%…

#数楽 微分方程式の例

(*) u''(x) + 4u(x) = 4sin(2x)

の右辺が(d/dx)^2+4の作用で消えることより、(*)の解は((d/dx)^2+4)^2の作用で消えるので次の形になる:

u(x) = (A+Bx) cos(2x) + (C+Dx) sin(2x).

これを(*)に代入すれば、u(x)は次の形になるとわかる:

u(x) = (A-x) cos(2x) + C sin(2).

#数楽 上の微分方程式のWolframAlphaによる解：

wolframalpha.com/input?i=u%27%2…