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私は、環論を学ぶまで、重根もしくは重解の概念を十分に理解できた感じがしてなかったです。(代数)方程式の概念も同様。
実数体上の方程式x²=0は環
A = ℝ[x]/(x²)
で表現されます。これと方程式x=0に対応する環
ℝ[x]/(x)
は異なる。環論を使えば方程式x²=0とx=0を明瞭に区別できます。
実数体上の方程式x²=0は環
A = ℝ[x]/(x²)
で表現されます。これと方程式x=0に対応する環
ℝ[x]/(x)
は異なる。環論を使えば方程式x²=0とx=0を明瞭に区別できます。
https://twitter.com/genkuroki/status/1669399159793938432
環k上の環Aで表現された方程式のk上の環Bでの解集合はk上の環準同型全体の集合
Hom_{k-ring}(A, B)
で表現されます。例えば、集合として、
Hom_{ℝ-ring}(ℝ[x,y]/(x²+y²-1), ℝ) ≅ {(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}.
Hom_{k-ring}(A, B)
で表現されます。例えば、集合として、
Hom_{ℝ-ring}(ℝ[x,y]/(x²+y²-1), ℝ) ≅ {(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}.
そして、以上のような代数方程式の表現になっている環の話について前もって知っておいた方が、環論の勉強はしやすいように思えます。
環論入門の内容のかなりの部分は算数～高校数学でやったことの一般化による再構成になっています。
その過程で、「方程式x=0と方程式x²=0は違うの？」のような素朴な疑問の多くが解消されることになります。
その過程で、「方程式x=0と方程式x²=0は違うの？」のような素朴な疑問の多くが解消されることになります。
#数楽 一対一対応
Hom_{ℝ-ring}(ℝ[x,y]/(x²+y²-1), ℝ) ≅ {(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}
は
ϕ ↦ (ϕ(x̅), ϕ(y̅))
によって得られます。逆は
(f̅ ↦ f(α, β)) ↤ (α, β).
例えば、写像
ϕ: ℝ[x,y]/(x²+y²-1)→ℝ, f̅ ↦ f(1/2, √3/2)
はℝ上の環準同型になっています。
Hom_{ℝ-ring}(ℝ[x,y]/(x²+y²-1), ℝ) ≅ {(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}
は
ϕ ↦ (ϕ(x̅), ϕ(y̅))
によって得られます。逆は
(f̅ ↦ f(α, β)) ↤ (α, β).
例えば、写像
ϕ: ℝ[x,y]/(x²+y²-1)→ℝ, f̅ ↦ f(1/2, √3/2)
はℝ上の環準同型になっています。
https://twitter.com/genkuroki/status/1669409066903543808
#数楽 代数方程式は多項式環の剰余環で表現されるので、代数方程式は剰余環(または環のイデアル)に一般化される。
代数方程式の解全体の集合は、与えられた環のあいだの準同型写像全体の集合であるHomセットに一般化されるわけです。
分数の話は局所化の話に、素因数分解の話はUFDの話に一般化。
代数方程式の解全体の集合は、与えられた環のあいだの準同型写像全体の集合であるHomセットに一般化されるわけです。
分数の話は局所化の話に、素因数分解の話はUFDの話に一般化。
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