Thread by @genkuroki

#数楽 ℤ[√2]やℤ[√3]はEuclid整域なのでPIDでUFDになるので、ℤ[√2]やℤ[√3]係数の多項式の √2や√3が出て来る因数分解の問題も既約元の積に分解する問題として意味を持ちます。続く

#数楽 ただし、整数dに関する√dが出て来る場合には、既約元の積への分解は因子の可逆元倍と順序の違いを無視しても一意的でなくなる場合が出て来ます。

実はそういうところに面白い数学が隠れている！

#数楽 整数の平方根が出て来る因数分解もちょっと話題になっていますが、その話はとてつもなく面白い数学の話に繋がっています！

中学生であっても思いつきそうな話の中にも素晴らしい数学が隠れています！

#数楽 数ではなく、多項式の平方根が出て来る場合にも、既約元の積への分解が因子の可逆元倍と順序の違いを無視しても一意的でない場合が出て来ます。

例えば、A=ℝ[X,Y]/(X²+Y²-1)で、x=X̅, y=Y̅とおくと、x²=(1+y)(1-y)はAの同一の元の異なる既約元分解を与えます。

#数楽 A=ℝ[X,Y]/(X²+Y²-1)で、x=X̅, y=Y̅とおくと、x²=(1+y)(1-y)はAの同一の元の異なる既約元分解を与えるので、AはUFDではない。

しかし、ℝをℂで置き換えたB=ℂ[X,Y]/(X²+Y²-1)ではU=X+iY, V=X-iYと座標変換できて、B=ℂ[U,V]/(UV-1)となり、BはLaurent多項式環になり、PID特にUFDになります。

#数楽 A=ℝ[X,Y]/(X²+Y²-1)は実数体上の単位円の方程式X²+Y²=1の剰余環としての表現になっています。

単位円の方程式は高校までの数学でも身近な対象で、その方程式を実数体上で考えてもUFDでない整域が得られるわけです。

#数楽 既約元への積の分解が、因子の順序や因子の可逆元倍の違いを無視しても、一意的にならない例として、

* ℤ[√(-5)]における 6 = 2×3 = (1 + √(-5))(1 - √(-5))

は非常に有名ですが。

https://twitter.com/genkuroki/status/1669918380990812160

#数楽 素因数分解を既約元の積への分解と解釈すると一意的でなくなる場合が出て来る。

この困難への対処のために、理想数=イデアルの理論が作られたわけです。(フェルマー予想関連)

こういう感じで、因数分解の話だけで、幾らでも御飯を何杯も食べられる。

ぶっちゃけ、超定番の数学ネタ。

#数楽 複素楕円曲線 y²=x(x-1)(x-2)のアフィン座標環A=ℂ[X,Y]/(Y²-X(X-1)(X-2))もUFDではない。

Aの中で、x=X̅, x-1, x-2, y=Y̅は既約元で、y²=x(x-1)(x-2) は同一の元の異なる既約元分解を与えている。

イデアル(y)は素ではなく、(y)=(y,x)(y,x-1)(y,x-2)と単項でない素イデアルの積に分解される。

#数楽 環AをそのイデアルIで割ってできる剰余環A/Iは大雑把には

A/I = (AにおいてIの元をすべて0とみなしてできる環)

例えば、

ℤ/(12) = (ℤにおいて12=0とみなしてできる環)

ℂ[X,Y]/(Y²-X(X-1)(X-2)) = (ℂ[X,Y]の中でY²=X(X-1)(X-2)とみなしてできる環)

#数楽 例えば

ℝ[X,Y]/(Y) = (ℝ[X,Y]の中でY=0とみなしてできる環) ではYがなくなるので、ℝ[X]と同型な環が得られます。

ℝ[X,Y]/(X,Y) = (ℝ[X,Y]の中でX=Y=0とみなしてできる環) ではXもYがなくなるので、ℝと同型な環が得られます。

#数楽 例

ℤ/(2) = (ℤのおいて2=0とみなしてできる環) の中では、偶数=0, 奇数=1 とみなされ、2元体

𝔽₂ = {0, 1}, 1+1=0

と同型な環が得られます。

#数楽 例

ℤ[X]/(X) = (ℤ[X]の中でX=0とみなしてできる環) ≅ ℤ

ℤ[X]/(2) = (ℤ[X]の中で2=0とみなしてできる環) ≅ 𝔽₂[X]

ℤ[X]/(2,X) = (ℤ[X]の中で2=X=0とみなしてできる環) ≅ 𝔽₂

#数楽 こういう感じに、イデアルや剰余環の正確な定義を知らなくても、大雑把に

A/(f₁,…,fᵣ) = (環Aにおいてf₁=⋯=fᵣ=0とみなしてできる環)

であることを知っているだけでも色々分かります。

大雑把に行ける所まで行ってその雑さが怖くなったら、正確な議論を学ぶ動機が得られます。

#数楽 他の例

ℤ[X]/(X²-2) = (ℤ[X]においてX²=2とみなしてできる環)

の中でXは√2の役目を果たすので、これは、ℤと√2で生成される環ℤ[√2]に同型な環になります。

ℤ[X]/(X²-2) ≅ ℤ[√2], X↔√2.

もちろん、Xと-√2を対応させても同型が得られる。この点がガロア理論に発展する。

#数楽 A/(f₁,…,fᵣ) = (環Aにおいてf₁=⋯=fᵣ=0とみなしてできる環) という雑な理解でも結構先まで進めます。

一般には、f₁=⋯=fᵣ=0とみなしたときどうなるかは複雑過ぎてよくわからないのですが、fᵢ達をグレブナ基底に置き換えることができるならば、分かりやすくなってさらに先に進めます。

#数楽 可換環Aは

普通に加減乗の演算をできて、積が可換で1を持つもの

だと思っておき、剰余環についても

A/(f₁,…,fᵣ) = (環Aにおいてf₁=⋯=fᵣ=0とみなしてできる環)

程度の雑な理解でもすませることの利点は、これだけで、細部が雑であっても、多彩な環を自分で作れるようになることです。

#数楽 そういう雑な理解でどこまで進めるかの確認は、細部が雑なせいで間違ったのか正しかったのかが分からなくなる所までやれれば非常に教育的だと思います。

正確な定義と証明のありがたみも実感できるようになる。

それと同時に雑でも大して困らない場合も結構あることが分かる。

両方大事。

#数楽 例

ℝ[X,Y]/(Y²+X²+1) = (ℝ[X,Y]においてY²=-X²-1とみなしてできる環)

において、Yは√(-X²-1) の役目を果たすので、

ℝ[X,Y]/(Y²+X²+1) ≅ ℝ[X, √(-X²-1)]

だとみなせます。

このとき、

❌X∈ℝなら -X²-1 < 0 なので √(-X²-1) の定義域は空集合になる

と考えるのは浅はか。続く

#数楽 ℝ係数で考えていても、定義域は複素数全体であってもよいし、さらに拡張してリーマン面でもよい。

√(-X²-1)を通常の一価函数とみなすには、適当なリーマン面を定義域とすればよいです。

一つ上のツイートで例を示した浅はかな考え方はまずい。