1/ Τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας (Μέρος Γ')

Έχουμε καθορίσει ως τώρα τι είναι, γενικά κι αόριστα, μία καμπύλη στο Καρτεσιανό Επίπεδο. Ωστόσο, εμάς δε μας νοιάζουν οι καμπύλες γενικά, αλλά πιο πεζά πράγματα όπως οι κύκλοι και τα τετράγωνα. Πώς, άραγε, περιγράφονται αυτά;

https://twitter.com/aftermathsgr/status/1565045025351811073

2/ Αφού μας απασχολεί ο τετραγωνισμός του κύκλου, ας ξεκινήσουμε με τους κύκλους στο Καρτεσιανό Επίπεδο. Όπως είπαμε, μία καμπύλη περιγράφεται ως ένα σύνολο σημείων της μορφής {(x,y): f(x,y)=0}. Ποια όμως είναι η κατάλληλη συνάρτηση f που μπορεί να περιγράψει έναν κύκλο;

1/ Τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας (Μέρος Α').

Ο τετραγωνισμός του κύκλου (και ουχί η περικύκλωση του τετραγώνου), είναι ένα από τα κατεξοχήν προβλήματα που ζόρισαν αρκετά τους παλιότερους μαθηματικούς, μέχρι και αρκετά πρόσφατα. Αλλά... γιατί; 2/ Το πρόβλημα συνίσταται στο να πάρουμε έναν ωραίο κύκλο και να κατασκευάσουμε χρησιμοποιώντας κανόνα (μία ίσια βέργα, δηλαδή) και διαβήτη ένα τετράγωνο με εμβαδό όσο ακριβώς και ο κύκλος. Εύκολο, με μία πρώτη ανάγνωση, θα πει κανείς. Ωστόσο...

1/ Ας θεωρήσουμε έναν μεθυσμένο που στέκεται ακριβώς 5 βήματα από το σπίτι του. Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσει στο σπίτι του, αν γνωρίζουμε ότι κάθε βήμα του με πιθανότητα 30% είναι προς τη σωστή κατεύθυνση (το σπίτι του) ενώ με 70% πιθανότητα τον απομακρύνει από αυτό; 2/ Μπορεί κανείς βιαστικά να πει ότι η πιθανότητα αυτή είναι 0,30^5 ~= 0,002 (ήτοι, 0,2%), αφού για να φτάσει σπίτι του πρέπει να κάνει ακριβώς πέντε βήματα προς αυτό. Ωστόσο, στο παραπάνω σκεπτικό υπάρχει ένα μικρό λάθος - μπορείτε να το βρείτε;