Thread by @rober_fun

#DivulgandoMatemáticas

Hoy voy a comentar sobre el desarrollo en serie de Taylor

Mostraré ejemplos en los que se puede hacer sin fórmula (incluso algunos sin derivar) y una relación sorprendente y bellísima con un resultado (de Newton nada menos)

¿Te apetece? (van 7 tuits) 👇

Sabrás que el desarrollo en serie de Taylor permite aproximar una función en torno a un punto mediante un polinomio

Yo usaré la aproximación en torno al 0

Se obtiene con esta fórmula y básicamente requiere obtener el valor de las derivadas (primera, segunda, ...) de la función

A veces se puede obtener sin conocer la fórmula

El caso típico es la función exponencial
Sabemos que vale 1 en x=0 y que su derivada es ella misma

¿Podemos obtener el polinomio sólo con eso?

Sí, fíjate en este GIF

Se deriva el polinomio y se van igualando los coeficientes

Pero es que hay casos en los que se puede hacer incluso sin derivar. Basta saber alguna propiedad de la función que nos resulte útil

Aquí tienes un ejemplo

(Te animo a comprobar el resultado)

Y un último ejemplo más que me dará pie a la prometida relación con el resultado de Newton

Éste caso tiene además dos formas de obtener el desarrollo de Taylor (sin saberse la fórmula ni derivar)
🤯

¿Y si te digo ahora que el binomio de Newton no es más que un desarrollo en serie de Taylor?

Sí, ahora lo haremos al revés: el binomio de Newton se puede hacer sin derivadas ni líos, sólo multiplicando

¡Pero aquí estamos para divertirnos con las mates!

Mira 😍

Pero es que además los ejemplos que puse antes también pueden verse como binomios de Newton (generalizados, porque no tienen exponente natural)

Dejo aquí el primer ejemplo y te animo a comprobar que también funciona con 1/(1+x)=(1+x)^(-1)

¿Viste que aunque aparecen factoriales de números negativos no hace falta acudir a la función gamma?

El motivo es que el número combinatorio los incluye de tal manera que siempre es posible eliminarlos aplicando la propiedad n!=n(n-1)! las veces que haga falta

FIN
¿Te gustó?