חול המועד סוכות בפתח, ולצערנו כנראה שיהיו גם לא מעט פקקים. אז אם אתם מחפשים נושא שיחה נחמד לשהייה באוטו, בואו נסקור בקטנה את הפרדוקס (שמוזכר לא מעט בדיונים פה ברשת) ומראה כיצד *תוספת* של כביש יכול *להגדיל* את זמן הנסיעה לכולם!
שרשור קצר על פרדוקס ברס 🧵
קצת רקע.
הפרדוקס שוכן בתחום של משחקי עומס (congestion games) שזה תחום בתוך "משחקי פוטנציאל" (potential games). המקור למשחקים הללו הוא מאמר של רוזנטל, איש תורת המשחקים, מ-1973, למרות שאת המונח "משחק פוטנציאל" קבעו דב מונדרר ולויד שפלי ב-1996, שגם הוכיחו שקילות בין המשחקים.
בנוסף, חשוב לציין שלרוב מדגימים את הפרדוקס דרך בעיות תחבורה (ולא בכדי, המתמטיקאי הגרמני שהגה אותו בשנת 1968, ברס, אכן כתב על בעיות תחבורה), אבל אפשר להפעיל את אותו הרעיון למודלים אחרים של רשתות.
👇 אגב, הפרדוקס הוא חלק קטן במאמר המקורי, וכאן יש תרגום שלו
jstor.org/stable/2576926…
אז איך הפרדוקס עובד?
הסיפור מתחיל בשרטוט הבא.
100 מכוניות צריכות להגיע מההתחלה לסיום, ויש כמה דרכים אפשריות: 2 דרכים (שחור) שלוקחות 25 דקות, 2 דרכים (כתום) שלוקחות T/5 דקות (T=מספר המכוניות בדרך הזו) והדרך מ-א ל-ב (כחול) שלוקחת 0 דקות. די פשוט סה"כ.
מה הש"מ במערכת הזאת?
שימו לב שאפילו אם כל הנהגים נוסעים בדרך עם העומס המשתנה, אז זמן הנסיעה בכ"א מהן הוא 100/5=20 דקות (עדיף על 25 דקות). לכן בש"מ, כדאי לכולם לנסוע תחילה ל-א, לדלג ל-ב מיד, ומשם לנסוע לסיום. סה"כ 40 דקות. אפשר לבדוק שאין לאף שחקן סטייה כדאית. קרי, זה ש"מ נאש.
אבל מה קורה אם נחסום את האפשרות לעבור מ-א ל-ב?
במקרה כזה יוותרו רק 2 מסלולים: עליון ותחתון. בגלל שהעומס משפיע על זמן הנסיעה, כדאי לנהגים להתחלק כך שחצי נוסעים בעליון וחצי בתחתון. זה למעשה סימטרי, וקל לבדוק שזה ש"מ נאש חדש.
ומה קורה לזמן הנסיעה?
ובכן, פה החלק המעניין באמת.
זמן הנסיעה יורד ל-35 דקות: 25 דקות במסלול עם הזמן הקבוע, ועוד 50/5=10 דקות בדרך עם הזמן המשתנה. הורדת הכביש חסכה לכולם 5 דקות!
אגב, ברס במקור אכן דן בהורדה של דרכים, ולא בתוספת של דרך. אבל אפשר להציג זאת גם בסדר הפוך.
אוקיי, זו תוצאה מוזרה ("פרדוקס"), אז בואו נבין אותה.
למה זה קורה? פה נכנס חלק כלכלי/אסטרטגי רחב יותר, שמתרחש במשחקי עומס בפרט, והוא השפעות חיצוניות (Externalities החצנות).
החצנות הן מקרים בהם שחקן מבצע פעולה שהעלות/שהתועלת ממנה מושת גם על צד ג' שאינו נוגע לעניין, כך שמבצע הפעולה לא סופג את מלוא ההשלכות של מעשיו. נדגים זאת.
הדוגמאות הקלאסיות להחצנות הן זיהום סביבתי ועישון. עישון יכול לייצר מטרד לסביבה (ריח, עשן, חומרים רעילים). האדם שבחר לעשן אומנם סופג חלק מההשלכות, אבל לא את כולן, ובפרט לא את המטרד לסביבה. זה קורה גם בזיהום סביבתי, וכמובן גם במקרה של גודש תחבורתי. כל אדם למעשה משית עלות על אחרים.
בכלכלה, החצנות יכולות לגרום לתוצאה לא יעילה בש"מ. סוג של כשלי שוק. לכן יש נטייה/רצון לעיתים להתגבר עליהם בצורה מובנת. בהקשר של עישון, יש מגבלות על עישון במקומות ציבוריים, בנושא של זיהום סביבתי, יש אכיפה וקנסות, וכן הלאה.
כיצד זה מתרגם לפרדוקס ברס?
נניח שאנחנו בתרחיש בו יש את הדרך מ-א ל-ב וננסה לייצר מצב "יעיל" בו חצי מהנהגים נוסעים רק במסלול העליון וחצי רק בתחתון. בסיטואציה הזאת לוקח לכולנו 25 דקות להגיע ליעד. אבל זה *לא* ש"מ.
למה?
כי אם אני במסלול העליון, כדאי לי לעבור באמצע הדרך מ-א ל-ב, ואז הדרך שלי תהיה מהירה יותר!
אם כל היתר נוסעים בחלוקה שווה במסלול העליון ובתחתון, כדאי לי כנהג השולי לנסוע עד ל-א, 50/5=10 דקות, אז לדלג ל-ב, ומ-ב לסיום ייקח לי עוד 51/5=10.2 דקות. סה"כ 20.2 דקות. להיט.
אבל הלוגיקה הזו נכונה גם לכל הנהגים האחרים והם גם יסטו. בסוף נגיע חזרה לש"מ בו זמן הנסיעה הוא 40 דקות.
שימו לב שהעניין המרכזי פה זו ההשפעה של כל נהג על סביבתו. לכל פרט יש אינטרס אישי לסטות ולחסוך זמן, אבל זה לא בחינם. זה ע"ח אחרים, כי כל פרט מאריך לאחרים את זמן הנסיעה בגלל העומס שנוצר. זו דוגמא טובה להחצנות שמובילות לתוצאה לא יעילה בש"מ.
אגב, זה קורה גם כשעוקפים בתור או ברמזור...
אז, עד כמה הפרדוקס מציאותי? ובכן, אני לא מומחה תחבורה, אלא איש תורת המשחקים/תיאוריה כלכלית, ולכן אני מכיר רק אנקדוטות על כמה ערים בהן התופעה הזו הופיעה. אנשי #פידתחבורה ודאי ישמח לתרום מידע בעניין.
אבל יש כמה נקודות שכן כדאי לקחת מהסיפור הזה.
1) החצנות זה לא עניין אנקדוטלי/זניח. צריך להבין היטב את ההשפעות הללו, במיוחד כאשר עוסקים במדיניות.
2) More is not necessarily better.
3) ההיסטוריה מלאה במתמטיקאים שביצעו פלישה עויינת לתחום הכלכלה בגלל שבא להם להתעסק באסטרטגיה, והם מעולם לא התנצלו על כך...
Share this Scrolly Tale with your friends.
A Scrolly Tale is a new way to read Twitter threads with a more visually immersive experience.
Discover more beautiful Scrolly Tales like this.