Thread by @gomezbenavente

[HILO] Estos días, nos hemos visto abrumados por cifras: contagiados, fallecidos... Los números son la mejor manera de valorar el presente, pero...¿cómo pueden ayudarnos los números con el futuro del COVID-19? Agárrense, que vienen curvas: veamos las matemáticas del coronavirus.

Antes de todo, quiero aclarar algunos conceptos que he visto en la última semana. En primer lugar, la progresión geométrica. Lo cierto es que a priori puede acojonar que te llegue un mensaje reenviado de WhatsApp diciendo: «el coronavirus se propaga geométricamente: 2-4-8-16...».

Otra expresión muy escuchada recientemente es "crecimiento exponencial", y sinceramente, suena muy técnico, muy científico. Casi que me dicen que el virus sigue un crecimiento exponencial y me lo creo sólo por eso.

Bueno, pues el plot twist es el siguiente: NO, la epidemia de COVID-19 no sigue ni una progresión geométrica ni un crecimiento exponencial 😱

Esto se debe a un motivo: tanto la progresión geométrica como las exponenciales tienden a infinito con el tiempo. Y, como es lógico, la población española (y la del mundo) es finita. Si el virus siguiese esas tendencias, todos acabaríamos contagiados, y eso nunca va a pasar.

Y es que es muy fácil extrapolar los preocupantes datos de que nos llegan y pensar que vamos de mal en peor. Error. La mala interpretación de los números es uno de los factores para que uno sea más propenso al miedo. La verdad es: esto va a ir a peor, pero sólo por unos días.

¿Y cómo llamamos a esto? Este comportamiento tiene un nombre: crecimiento logístico o sigmoidal. Aquí podemos comparar la curva exponencial con la curva sigmoide.

La curva logística representa, por tanto, el total de infectados o contagiados: es decir, la suma total de personas que, en algún momento, han tenido la enfermedad. Incluye también a los fallecidos y a aquellos que han sido dados de alta.

Sin embargo, también nos interesa saber el número diario de casos registrados. Esto es muy útil en tema de urgencias, hospitales, medicamentos, provisiones...
Estamos hablando, por tanto, de la tasa de variación de la curva sigmoide en función del tiempo, es decir, su derivada.

La derivada de la sigmoide es la curva que hay que aplanar o frenar. El clamor de #aplanarlacurva ha recorrido España durante estos últimos días, e incluso @sanchezcastejon ha hecho referencia a esta intuición matemática durante el discurso de esta tarde.

Esta famosa curva aparece por primera vez en un artículo de la revista The Lancet: doi.org/10.1016/S0140-…. En el artículo se hace hincapié en aumentar el distanciamiento social para evitar un colapso del sistema sanitario. Veamos el trasfondo matemático de esta afirmación.

Para estudiar numéricamente los eventos de la realidad, utilizamos modelos. Ejemplos de modelos son la ley de acción-reacción para la física, la ley de Laplace en la probabilidad, el modelo de la telaraña en economía...

En muchas ocasiones, los fenómenos de la realidad son tan complejos que se necesita hacer simplificaciones. Por poner un ejemplo, si os acordáis de los problemas de física de Secundaria, considerábamos despreciable el rozamiento para hacer más sencillo (simplificar) ese problema.

(que conste que en segundo de Ingeniería Aeroespacial muchas veces lo seguimos despreciando 😜)

El caso. Todo esto también se aplica a la epidemiología matemática. El modelo más aplicado para describir las epidemias es el modelo SIR. Está definido por un sistema de tres ecuaciones diferenciales (no son más que ecuaciones que incluyen derivadas)

S(t) representa el número de personas susceptibles de padecer la enfermedad en un instante t. I(t) representa el número de infectados en dicho instante. R(t) representa es el número de personas recuperadas en el instante t.

Las simplificaciones de este modelo son las siguientes: la población total se mantiene constante (los nacimientos y los fallecimientos se desprecian) y los que han pasado la enfermedad están inmunizados. Sólo se puede pasar de susceptible a infectado, y de infectado a recuperado.

Veamos ahora las ecuaciones por separado. Pero antes de nada, querría aclarar algo: para el siguiente análisis, pensad en la derivada como una variación diaria, como la diferencia entre los Susceptibles/Infectados/Recuperados de un día respecto al anterior. ¿De qué depende esto?

Supongamos que los Infectados contagian a una fracción β de los susceptibles cada día (β es un número menor que 1). Evidentemente, β es una fracción, pero como tiene que ver con el contacto y la vida social, β será mayor cuantas más personas veas al día: son proporcionales.

El incremento en contagios (que pasan de Susceptibles a Infectados) en un día causado por un sólo contagio es β · S, y por lo tanto, el número total de nuevos contagios será β · S · I, es decir, β · S por cada uno de los I Infectados.

Aunque el nº de Infectados aumenta por los contagios, disminuye por las altas médicas (pasan de Infectados a Recuperados). Supongamos que, cada día, una fracción γ de los Infectados recibe el alta. γ depende de la duración de la enfermedad, es decir, de la naturaleza del virus.

Por tanto, la disminución en los infectados causada por las altas médicas en un día será de - γ · I, con un signo menos porque es una disminución.

Juntando el aumento diario en Infectados causada por los contagios, y la disminución diaria en Infectados causada por las altas médicas, obtenemos la variación (la derivada) de los infectados:

dI/dt = β·S·I - γ·I

Para completar el sistema de tres ecuaciones, consideramos los dos términos (contagios y altas) con signo contrario, puesto que, como la población es constante, lo que gana una categoría lo pierde la otra y viceversa.

dS/dt = β·S·I
dI/dt = β·S·I - γ·I
dR/dt = γ·I

(tampoco voy a profundizar demasiado en esto último, con haber entendido lo de la variación diaria en los infectados es suficiente para no perder el hilo, nunca mejor dicho)

Los epidemiólogos definen el número básico de reproducción R₀ como la división entre β y γ, es decir

R₀ = β / γ

R₀ representa el número medio de contagios que una sola persona es capaz de causar, y se utiliza como indicador para ver cómo va a evolucionar una epidemia.

Si R₀ es mayor que 1, la epidemia se propaga rápidamente. Cuando R₀ es 1, se frena; y cuando R₀ es menor que 1, la epidemia termina. China o Corea del Sur han alcanzado, en los últimos días, un R₀ menor que 1, es decir, la epidemia de COVID-19 ha terminado en esos países.

Actualmente, según las modestas estimaciones que he podido hacer en estos días, el R₀ de España se sitúa entre el 2.1 y el 2.3. La pregunta que muchos os estaréis haciendo es: ¿cómo hacemos bajar el R₀?

La respuesta es sencilla: R₀ depende de β y de γ. Como se dijo más arriba, γ depende de la naturaleza del virus, por lo que es un parámetro que no podemos cambiar. Pero β...¡ay β! β depende directa y proporcionalmente del número de personas con la que interactúas cada día.

En este gráfico (cortesía de @joshuasweitz), podemos ver la probabilidad de contagio con respecto a la concentración de personas. Está hecho para EEUU, pero las conclusiones son fácilmente extrapolables a España.

Por desgracia, en España hemos sido muy irresponsables en las últimas semanas. Hemos visto grandes aglomeraciones, donde con el paso de los días hemos podido comprobar que se han producido contagios (y eso que sólo nos enteramos de las personalidades que estaban en esos eventos).

Yo he sido el primer irresponsable al volver a mi ciudad desde una zona de riesgo, pudiendo (aunque asintomático) traer el SARS-Cov-2 a Valladolid.

(por cierto, SARS-Cov-2 es el nombre del virus, COVID-19 es el nombre de la enfermedad causada por el virus, de manera análoga a VIH y SIDA)

Pero eso no vamos a poder arreglarlo ya. La curva habrá avanzado bastante, y durante varios días vamos a ver el número de contagiados (y desgraciadamente, de fallecidos) subir, digamos, de manera "exponencial" o geométrica.

Sin embargo, está en nuestra mano, con iniciativas como #YoMeQuedoEnCasa, hacer que esa curva exponencial se transforme cada día más en una curva logística, en la cual podamos celebrar que hemos acabado con la epidemia.

Volviendo a la pregunta, ¿cómo disminuimos β, y con ella R₀? Quedándonos en casa. Es necesario hacerlo ahora, y es necesario hacerlo cuanto antes.

Y después de esta aventura matemágica, creo que podemos decir que «queda entonces demostrado» que juntos podemos #aplanarlacurva.

Me hubiera gustado mucho hacer un modelo SEIQR (como el modelo SIR pero con contagiados en estado latente y contagiados en cuarentena), pero lo cierto es parece que @sanidadgob no lleva muy bien el tema de los datos...

(pero vamos, que con que lleven bien los hospitales a mí me basta y me sobra)

China y Italia han dado una muestra de modernidad y transparencia a la hora de hacer públicos los datos del coronavirus (en GitHub y otras plataformas). Divididos en categorías y por regiones. Aquí muchas veces los datos de Sanidad se contradicen con los de las CCAA.

Además, suben las actualizaciones en formato PDF, lo cual no es muy manejable cuando trabajas con Python o Matlab...

Total, que como no he podido recurrir a la división de datos en S-I-R, y tengo que trabajar con contagiados totales (es decir, la curva o sigmoide), he tenido que usar otro modelo: el modelo generalizado de Richards (quien quiera informarse, arxiv.org/abs/2003.05681)

¿Conclusiones obtenidas? Ninguna. Los datos llegan con jet-lag, y todavía no se ve en la curva ninguna variación significativa que tenga como causa el mayor distanciamiento social. Habrá que esperar unos días para empezar a sacar resultados.

Hablar, a día de hoy, de cuándo va a ser el pico de la epidemia o de cuántos contagiados va a haber en total me parece una temeridad y una falta de rigor. A día de hoy, sólo una cosa nos debe preocupar, y sí, soy un pesado, pero tenemos que #aplanarlacurva, ¡coño!

Entre ayer y hoy nuestro país ha mostrado su solidaridad de varias maneras: la donación de sangre, el aplauso multitudinario de esta noche a los médicos...
Desde mi habitación, en mi todavía remanente cuarentena preventiva, yo también la muestro, #YoMeQuedoEnCasa

Haciendo mates y chapando, pero #YoMeQuedoEnCasa.
Y ahora sí, fin del hilo.