Thread by @rober_fun

#DivulgandoMatemáticas

¿Te apetece explorar un poco las matemáticas que hay detrás del premio Nobel de Economía de 1990?

Te adelanto que el resultado es sorprendente y sólo voy a poner dos fórmulas sencillas. Va a ser todo muy gráfico

¡Vamos! ⬇️

Empezamos con la evolución histórica de 2 acciones

Si ves estos gráficos ¿cuál elegirías?

¿La azul o la roja? (¿de qué me suena esto? 🤔)

¿Verdad que es muy difícil? Ambas tienen precios muy diferentes pero las dos crecen y prácticamente doblan su valor en el periodo de tiempo representado.

Vamos a analizar cómo se comportan mes a mes

Empezaremos dibujando el histograma de su rentabilidad mensual

En el GIF anterior ya obtuvimos unos valores numéricos para "resumir" el comportamiento de las dos acciones: la media (es decir, el crecimiento mensual esperado) y la desviación típica (es decir, cuánto se separan en promedio las rentabilidades de cada mes respecto a la media)

Hemos trabajado en base mensual y usado la desviación típica por ser más directo y visual

Al final del GIF se pintaban de blanco las barras comprendidas en la media +/- la desviación típica

Por comodidad, pasamos a anualizar los valores y a emplear la varianza (que es el cuadrado de la desviación típica)

Y los pintamos en un "mapa". Fíjate

Queda patente cómo la acción azul presenta una rentabilidad inferior a la roja pero con un riesgo (entendido como volatilidad de la rentabilidad mes a mes) también menor

Así, podemos elegir qué acciones nos resultan más atractivas en función de nuestra aversión al riesgo

Aquí viene lo sorprendente

¿Y si en lugar de escoger entre la acción azul y la roja, hago una mezcla? Es decir, una cartera (o portfolio) de acciones

Aquí tienes un ejemplo con 70% de azul y 30% de roja

¿Has visto? El emoji de sorpresa aparece porque la mezcla ha reducido notablemente su varianza

Y aunque es más difícil verlo en esos gráficos, también ha aumentado la rentabilidad media 🤯🥳

Vamos a ver las ecuaciones que explican por qué y lo aplicamos a nuestro ejemplo

¿No es curiosa la curva que une A y B? Cada punto es una mezcla de ambas acciones

En este caso aparece una zona a la izquierda del punto A donde se consigue mayor rentabilidad con menor riesgo

Es decir: mejor comprar también unas pocas acciones rojas que sólo azules

Efectivamente, no poner todos los huevos en la misma cesta

Mejorar la rentabilidad esperada de A añadiendo B es intuitivo porque B tiene mayor rentabilidad que A

¡Pero reducir el riesgo (volatilidad) añadiendo acciones que son más volátiles! Eso rompe los esquemas

Ojo, no siempre es así

Depende de los valores que tomen los términos que intervienen en la fórmula que vimos antes para calcular la varianza de a·A+b·B

Uno de ellos es la Covarianza, que mide más o menos el grado en que ambas variables están relacionadas

Este GIF compara las mezclas de A y B con otra diferente usando I

En el caso B-I no hay zona en la que se mejora la rentabilidad y se reduce el riesgo. Uno de los motivos es que la relación entre B e I es mayor que entre A y B (fíjate en los valores y signos de covarianza)

Por poco más (si me lo pedís lo cuento en otro hilo) dieron a Harry Markovitz el Nobel de Economía 1990 (elección de carteras) junto a 2 economistas que usaron su trabajo para desarrollar el modelo de formación de precios para activos financieros y la valoración de empresas

FIN