La historia de los modelos atómicos nos ha dejado un montón de anécdotas interesantes. Entre ellas el colapso de los átomos en el modelo de Rutherford, es decir, los electrones caían hacia el núcleo. Vamos a explicar por qué y a calcular en cuanto tiempo pasaría. 
En este esquema, tendríamos un núcleo en el centro con electrones orbitando a su alrededor. Igual que planetas alrededor de su estrella, pero las partículas en realidad no se comportan como planetas. Ese ya es otro tema.
Este modelo se ha demostrado incorrecto con los años, aunque el concepto ya era aproximado a lo que entendemos como átomo. Uno de los motivos que ya lo auguraba fue la inestabilidad atómica.
El punto es que si tenemos una carga eléctrica en una órbita circular, como puede ser un electrón, estará acelerada y, por tanto, emitirá radiación electromagnética. Por este motivo, perderá velocidad y caerá hacía el núcleo.
Este hecho podría no ser algo fatal para el modelo, es decir, podría suceder al cabo de varios miles de millones de años y seguiría dando la sensación de que los átomos son estables. Pero, para salir de dudas, vamos a calcular cuánto tiempo tardarían en caer al núcleo.
La expresión que nos facilita la potencia emitida por una carga acelerada es la fórmula de Larmor, donde, en nuestro caso concreto, la carga (q) será la del electrón (e).
De esta fórmula sabemos todos los datos excepto la aceleración de la partícula. Para calcularlo, partimos de la dinámica del sistema. Una carga puntual orbitando a un núcleo en órbita circular, donde la energía mecánica será la suma de la energía cinética y potencial.
Además, en este sistema se tiene que verificar la siguiente relación. Lo que nos dará una primera expresión para la velocidad en función de la distancia entre el electrón y el núcleo.
Sustituyendo esa expresión en la fórmula para la energía mecánica inicial, obtenemos una expresión para esta energía que solo depende del radio. Esto, a su vez, nos permite saber cómo se relaciona dicha energía con la variación del radio.
Con esto obtenemos nuestra fórmula para la velocidad en función de la energía inicial y la relación entre el radio inicial y el que va obteniéndose en cada momento.
¿Pero por qué es tan importante la velocidad si lo que queremos es la aceleración? Porque ambos parámetros están relacionados de la siguiente manera:
Donde podemos obtener el radio inicial con la siguiente fórmula.
La energía inicial la obtenemos a partir de la energía de ionización, es decir, la energía necesaria para sacar al electrón de la influencia del núcleo. En el caso del átomo de hidrógeno será de -13,6eV.
Con esto ya tenemos la cantidad de potencia radiada por nuestro electrón.
Además, esta potencia será directamente proporcional a la energía perdida por unidad de tiempo. En este punto nos valemos de la siguiente propiedad de las derivadas.
Nos queda una ecuación diferencial de variables separables. Para resolverla basta con integrar entre el tiempo 0 y el tiempo de colapso y el radio inicial y el radio 0 que corresponde al electrón colapsando en el núcleo.
Al realizar ese cálculo obtenemos que el electrón colapsa en 1,56·10-11 segundos. Una fracción ínfima de un segundo, es decir, en este modelo el colapso sería casi instantáneo, los átomos serían completamente inestables.
Para solucionar esto, Bohr, es su modelo, postuló que los electrones solo podrían estar en orbitas muy concretos donde no perderían energía. Aún no del todo acertado, pero ya se acercaba a un resultado más próximo al de la teoría cuántica.
