Thread by @fdezordonez

En estos tiempos donde escuchamos hablar continuamente de positivos, PCR, test de antígenos o seroprevalencia, conviene hacer una visita a una paradoja relacionada con las pruebas médicas. Se trata de la Paradoja del Falso Positivo. Acompáñame en este hilo
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Esta paradoja se basa en el Teorema de Bayes, postulado en el siglo XVIII por un matemático inglés 🇬🇧, teniendo enorme relevancia en el campo de la probabilidad y, por tanto, en muchas ramas del conocimiento incluyendo la epidemiología (o los concursos de la TV 📺)

No hay mejor forma de entender el Teorema de Bayes que con un ejemplo práctico. Vamos a ir paso a paso, despacito, para no perdernos por el camino. Trataré de ser claro, conciso y sencillo, para que todos lo entendamos, si bien la probabilidad es compleja y nada intuitiva🤯🤯

Imaginemos que hay una enfermedad que afecta a 1 de cada 1.000 habitantes. Imaginemos también que tenemos un test que detecta a los positivos en un 99% de las ocasiones. Es decir, tenemos una prueba muy buena, con una sensibilidad muy alta 👏👏

Este test, además, tiene también falsos positivos. Esto quiere decir que gente que NO tiene la enfermedad resulta positiva en la prueba. En este caso, imaginemos que nuestro test tiene un porcentaje de falsos positivos del 2%

Y ahora viene la pregunta, si me hacen la prueba y doy positivo ¿Cuál es la probabilidad de que yo REALMENTE tenga la enfermedad? Les adelanto que es mucho más baja de lo que podrían esperar. Nos ponemos manos a la obra

Tenemos dos consideraciones a hacer en este caso. Por un lado, llamemos A al hecho de que un paciente TENGA la enfermedad. Llamemos B al hecho de que ese paciente SEA POSITIVO cuando se hace el test.
Bien, continuemos

Entonces tenemos que la probabilidad de que un paciente TENGA la enfermedad es de 1 de cada 1.000 (lo hemos definido al principio). Por tanto, lo escribimos de este modo: P(A)=0,001 (1 de cada mil tiene la enfermedad)

Por otra parte, la probabilidad de SER POSITIVO cuando TIENES la enfermedad es del 99% (es la sensibilidad de nuestra prueba). Esto lo escribimos así: P(B|A)=0,99 y significa “la probabilidad de ser positivo (B), condicionada a TENER la enfermedad (A)”

Tenemos información adicional. En este caso, la probabilidad de un falso positivo (2%). Es decir, la probabilidad de ser positivo (B) cuando, en realidad, NO TIENES la enfermedad (no A). Esto lo escribimos así: P(B|no A)=0,02

Con toda esta información la pregunta que nos hacemos es (repetimos) 💡💡💡¿cuál es la probabilidad REAL de TENER la enfermedad (A) cuando SOY POSITIVO en la prueba (B)? Esto lo ponemos así P(A|B) y es la prob. de tener la enfermedad (A) condicionada a haber dado positivo (B)

Vamos a dar algún paso más. No es lo mismo la probabilidad de TENER la enfermedad cuando SOY POSITIVO en la prueba “P(A|B)” (lo que buscamos) que SER POSITIVO en la prueba cuando TIENES la enfermedad “P(B|A)”. De hecho esto último lo conocemos, es el 99% (0,99)

Ahora bien, podemos calcular otro parámetro: la prob. de SER POSITIVO y, además, TENER la enfermedad. Esto lo llamamos P(A y B) y se calcula muy fácil como P(B|A)·P(A). Es decir, la prob. de dar positivo en la prueba (teniendo la enfermedad) por la prob. de tener la enfermedad

En el caso que nos ocupa, P(A y B)= P(B|A)·P(A)=0,99·0,001=0,00099
Bien, pues de modo inverso, podemos también calcular P(A y B) como P(A|B)·P(B) y, por tanto, poder calcular P(A|B)=P(A y B)/P(B) y ya tendríamos lo que necesitamos. Salvo por una pega

Que no tenemos P(B), la prob. de SER positivo en el test (tanto si tienes la enfermedad como si no). Pero espera, la podemos calcular fácilmente puesto que tenemos la tasa de positivos reales (99%) y tenemos, también la tasa de falsos positivos (2%). Vamos a ello

La prob. de SER POSITIVO en la prueba “P(B)” la podemos calcular como la suma de las prob. de SER POSITIVO cuando TIENES la enfermedad y la de SER POSITIVO cuando NO LA TIENES. Es decir P(B)=P(A y B) + P(no A y B). Por tanto P(B)=0,99·0,001+0,02·0,999=0,02097

Y listo, ya tenemos todo para admirar la maravillosa paradoja de Bayes en este momento. Resulta que, en una enfermedad que afecta a 1 de cada 1.000 personas, que tengo una prueba válida en el 99% de las ocasiones y con falsos positivos de solo el 2%

Cuando una persona ES POSITIVA en la prueba, la probabilidad REAL de tener la enfermedad “P(A|B)=P(A y B)/P(B)” es P(A|B)=0,00099/0,02097=0,0472.
¡¡¡¡¡MENOS del 5% de probabilidades!!!!! ¿Qué, cómo te quedas? 😱😱😱

Es decir, si uno va cogiendo gente al AZAR y haciendo la prueba, va a obtener muuuuchos más positivos que las personas realmente enfermas que hay. Y eso con una prueba con una sensibilidad cojonuda, que detecta al 99% de los positivos reales.

Si aplicamos este mismo principio a la pandemia del COVID y usted obtiene una PCR positiva, la probabilidad de que realmente tenga COVID es definitivamente inferior al 99% (sensibilidad de la prueba) que es lo que la mayoría de la gente cree

Esto se aplica también a los concursos de la tele tipo Monty Hall. Por ejemplo, un concurso donde hay tres cajas 🎁🎁🎁, en dos no hay nada y en otra el apartamento el Torrevieja 🏡(lo siento, soy de la época del un, dos, tres 🤪). El concursante elige una caja al azar

El presentador (que sabe dónde está el premio) abre una caja en la que no hay nada y te pregunta “¿Te quedas con tu caja o quieres cambiarla?”. Pues bien, esto no es nada intuitivo, pero TIENES que cambiar de caja, de hecho multiplicas por 2 la probabilidad de ganar si cambias

Para una discusión detallada de esto, podéis ver este enlace que incluye una simulación en JAVA para que juguéis un montón de veces hasta que os lo creáis. También viene una explicación gráfica y la explicación matemática, que este hilo ya es muy largo
estadisticaparatodos.es/taller/montyha…