Thread by @RayleighLord

La Ecuación de Schrödinger permitió conocer el comportamiento de las partículas subatómicas.

Muchas veces, se establece directamente, sin discutir apenas la procedencia que puede tener esta ecuación.

En este hilo 🧵vamos a explorar cómo construir esta importante ecuación.

1. Hace casi un siglo (en 1925), Schrödinger desarrolló esta ecuación.

El campo de la mecánica cuántica estaba emergiendo con fuerza y Schrödinger quería tratar de entender el átomo de hidrógeno.

2. Una persona que haya estudiado con anterioridad la ecuación de ondas más general, podría preguntarse por qué la ecuación de Schrödinger se considera también una ecuación de ondas.

Solo involucra una derivada temporal y además números complejos.

3. Para ver que también es una ecuación de ondas, uno puede ver que las funciones que cumplen la ecuación de ondas original, también cumplirían la de Schrödinger.

Sin embargo, esta última hace los números complejos una necesidad. Por ello, tomaremos una solución compleja.

4. La función de onda Ψ representada en el apartado anterior, caracteriza una partícula material viajando hacia la derecha sobre una recta (en un espacio de una dimensión).

Hay que darse cuenta que se utiliza una cierta "onda" para representar una partícula.

5. Antes de construir la ecuación, conviene examinar los resultados de Louis de Broglie en su tesis doctoral de 1928.

Dado el comportamiento onda/corpúsculo de la materia, asoció una longitud de onda a cada partícula.

La energía se estableció de forma análoga a la de un fotón.

6. Ahora, queremos inventar operadores que, actuando sobre la función de onda, nos hagan descubrir valores de la partícula que describe, como la energía.

Matemáticamente, podemos pensar que un operador acepta una función como entrada y da una función como salida.

7. Armados con la idea de operador y con la expresión general de función de onda que vimos antes, buscamos un operador que "saque" la energía de la función de onda.

Desde el punto de vista de álgebra lineal, la función de onda es un autovector del operador y E su autovalor

8. ¿Cuánto vale la energía? Considerando una partícula libre (sin fuerzas externas), la energía de la partícula será directamente su energía cinética (ignorando efectos relativistas).

A su vez, con de Broglie relacionamos momento lineal p y número de onda k.

9. Como la energía depende del momento lineal, queremos descubrir ahora un operador que muestre el momento lineal para la partícula representada por la función de onda.

De nuevo, viendo la expresión de la función de onda, inventamos un operador que me devuelva pΨ.

9. De manera natural, basados en la expresión clásica de la energía cinética, definimos un operador energía utilizando el operador momento lineal anterior.

¡Aplicando este operador sobre la función de onda vemos que también descubre la energía!

10. Juntando los dos operadores que me aportaban la energía como autovalor y tenían la función de onda como autovector (autofunción para ser más precisos), alcanzamos la Ecuación de Schrödinger.

Como podéis ver, parte del trabajo sale de la intuición clásica de onda y partícula.

11. Generalizando un poco más, se define el Hamiltoniano del sistema como el operador energía cinética más un potencial que describe las distintas fuerzas a las que está sometida la partícula.

Con estos ingredientes, uno ya puede ir a analizar el átomo de hidrógeno.

12. En el momento de desarrollar esta ecuación, no había una interpretación clara de la función de onda Ψ.

La interpretación actual es que |Ψ|² es la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición y un instante determinado.

13. Para finalizar, destacar que, los números complejos, si bien una herramienta muy útil para resolver problemas clásicos, en ningún momento son necesarios, son auxiliares.

Aquí, la función de onda tiene que ser compleja por necesidad, lo cual puede dar mucho en qué pensar.