Thread by @aftermathsgr

1/ Τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας (Μέρος Α').

Ο τετραγωνισμός του κύκλου (και ουχί η περικύκλωση του τετραγώνου), είναι ένα από τα κατεξοχήν προβλήματα που ζόρισαν αρκετά τους παλιότερους μαθηματικούς, μέχρι και αρκετά πρόσφατα. Αλλά... γιατί;

2/ Το πρόβλημα συνίσταται στο να πάρουμε έναν ωραίο κύκλο και να κατασκευάσουμε χρησιμοποιώντας κανόνα (μία ίσια βέργα, δηλαδή) και διαβήτη ένα τετράγωνο με εμβαδό όσο ακριβώς και ο κύκλος. Εύκολο, με μία πρώτη ανάγνωση, θα πει κανείς. Ωστόσο...

3/ ...αιώνες ενασχόλησης με τα μαθηματικά απέδειξαν ότι δεν είναι και τόσο εύκολο, τελικά. Για την ακρίβεια, δεν είναι απλά δύσκολο, αλλά *αδύνατο* να γίνει μία τέτοια κατασκευή. Ας δούμε, όμως, βήμα-βήμα, που βρίσκεται όλη αυτή η δυσκολία.

4/ Παίρνουμε έναν διαβήτη και σχεδιάζουμε έναν κύκλο με ακτίνα (ρ) 1cm. Όπως ξέρουμε από το σχολείο, το εμβαδόν (E) αυτού του κύκλου θα είναι ίσο με E = π x ρ^2, δηλαδή, Ε = π cm^2. Αυτό που έχουμε να κάνουμε τώρα δεν είναι παρά να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν π cm^2.

5/ Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να πάρουμε τον κανόνα και τον διαβήτη μας και να σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με πλευρά μήκους όσο και η τετραγωνική ρίζα του π. Παίρνουμε, λοιπόν, το κομπιουτεράκι μας και βλέπουμε ότι η ρίζα του π είναι *περίπου* 1,77, άρα ξεμπερδάψε!

6/ Σαφώς και όχι! Το πρόβλημα σε όλα τα παραπάνω είναι το «περίπου». Η δυσκολία του όλου εγχειρήματος δεν έγκειται στο να βρούμε τις διαστάσεις του τετραγώνου μας - αυτό το έχουμε κάνει με ακρίβεια *αλγεβρικά*. Αντιθέτως, η δυσκολία εδράζεται στο σχέδιο που καλούμαστε να κάνουμε.

7/ Με άλλα λόγια, ο περιορισμός «με κανόνα και διαβήτη» στο πρόβλημά μας, όπως θα δούμε, είναι πολύ ουσιαστικός. Αλλά, ας τα αφήσουμε αυτά για λίγο στην άκρη και ας πιάσουμε το νήμα από πιο πίσω. Τι μπορούμε να σχεδιάσουμε χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη;

8/ Προφανώς, θα χρειαστούμε χαρτί και μολύβι, πέρα από τα γεωμετρικά μας όργανα. Παίρνουμε, λοιπόν, ένα χαρτί αυθαίρετα μεγάλων διαστάσεων και μουντζουρώνουμε σε αυτό ένα σημείο με το μολύβι μας. Αυτό το σημείο θα το φωνάζουμε Ο και θα το λέμε συχνά και «αρχή των αξόνων».

9/ «Ποιοι είναι οι άξονες;» θα πείτε τώρα, και με το δίκιο σας. Παίρνουμε, λοιπόν, τον κανόνα μας και τραβάμε μία ίσια γραμμή με αυθαίρετα μεγάλο μήκος που να διέρχεται από το Ο. Αυτή τη γραμμή θα την ονομάζουμε «οριζόντιο άξονα» ή, πιο απλά, «άξονα x».

10/ Μετά, με τη βοήθεια και του διαβήτη μας, σχεδιάζουμε άλλη μία ίσια γραμμή που να περνάει από το Ο και να είναι *κάθετη* στον άξονα x - πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό; Αυτήν την ευθεία θα τη λέμε «κατακόρυφο άξονα» ή «άξονα y».

11/ Μπορούμε, ανοίγοντας τον διαβήτη μας σε κάποιο κομψό μήκος, να χαράξουμε και να αριθμήσουμε λίγες ισαπέχουσες γραμμούλες σε κάθε άξονα, φτιάχνοντας έτσι κάτι που μοιάζει με το παρακάτω - θα το λέμε «Καρτεσιανό Επίπεδο», προς τιμήν του Ντεκάρτ που κάποτε λέγαμε Καρτέσιο...

12/ Σε τι όμως μπορεί να μας χρησιμεύσει το Καρτεσιανό Επίπεδο σε σχέση με τον τετραγωνισμό του κύκλου, άραγε; Υπομονή μέχρι το επόμενο επεισόδιο! #Maths #μαθηματικά

Αν βιάζεστε... ➡️ aftermaths.gr/2021/09/26/%CE…