Thread by @aftermathsgr

1/ Τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας (Μέρος Γ')

Έχουμε καθορίσει ως τώρα τι είναι, γενικά κι αόριστα, μία καμπύλη στο Καρτεσιανό Επίπεδο. Ωστόσο, εμάς δε μας νοιάζουν οι καμπύλες γενικά, αλλά πιο πεζά πράγματα όπως οι κύκλοι και τα τετράγωνα. Πώς, άραγε, περιγράφονται αυτά;

https://twitter.com/aftermathsgr/status/1565045025351811073

2/ Αφού μας απασχολεί ο τετραγωνισμός του κύκλου, ας ξεκινήσουμε με τους κύκλους στο Καρτεσιανό Επίπεδο. Όπως είπαμε, μία καμπύλη περιγράφεται ως ένα σύνολο σημείων της μορφής {(x,y): f(x,y)=0}. Ποια όμως είναι η κατάλληλη συνάρτηση f που μπορεί να περιγράψει έναν κύκλο;

3/ Ας σκεφτούμε λίγο ποια είναι η πλέον χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων ενός κύκλου: ισαπέχουν από το κέντρο του κύκλου. Πράγματι, αν γνωρίζουμε το κέντρο Κ(α,β) ενός κύκλου και την ακτίνα του (ρ), τότε μπορούμε να αποφανθούμε για κάθε σημείο Μ αν ανήκει ή όχι στον κύκλο.

4/ Για παράδειγμα, αν έχουμε έναν κύκλο με κέντρο Κ(2,3) και ακτίνα ρ=2, τότε το σημείο Μ(4,3) ανήκει στον κύκλο, καθώς απέχει από το Κ απόσταση ακριβώς 2. Αντίστοιχα, το σημείο Ν(3,3) δεν ανήκει στον κύκλο, καθώς απέχει από το Κ απόσταση 1.

5/ Γενικά, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι σχετικά εύκολο να δείξουμε ότι ένα σημείο M(x,y) ανήκει σε έναν κύκλου κέντρου Κ(α,β) και ακτίνας ρ ανν ισχύει η σχέση (x-α)^2+(y-β)^2=ρ^2.

6/ Ας περάσουμε τώρα στις ευθείες. Μία ευθεία μπορούμε (πώς;) να αποδείξουμε ότι περιγράφεται πλήρως από μία εξίσωση της μορφής Αx+Βy+Γ=0. Επομένως, έχουμε στα χέρια μας τρόπους να αναπαραστήσουμε στο Καρετσιανό Επίπεδο ευθείες και κύκλους. Αλλά, γιατί μας νοιάζουν αυτά;

7/ Όπως ίσως θυμάστε, ο τετραγωνισμός του κύκλου πρέπει να γίνει μόνο με κανόνα και διαβήτη, δηλαδή, μόνο σχεδιάζοντας κύκλους και ευθείες. Όπως, ίσως, επίσης θυμάστε, το πρόβλημά μας ανάγεται στο να καταφέρουμε να σχεδιάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους ρίζα π.

8/ Αυτό, με τη σειρά του, ανάγεται στο να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε με κανόνα και διαβήτη στο Καρτεσιανό Επίπεδο το σημείο (ρίζα(π), 0). Λέγοντας «σχεδιάσουμε», όμως, τι ακριβώς εννοούμε; Δεν μπορούμε απλά να πάμε πάνω στο επίπεδο και να το μουντζουρώσουμε;

9/ Ως τώρα, το μόνο σημείο που έχουμε σχεδιάσει - αυθαίρετα - είναι το Ο (η αρχή των αξόνων). Πέρα από αυτό, κάθε άλλο σημείο που δικαιούμαστε να θεωρούμε «σχεδιάσιμο» με κανόνα και διαβήτη, πρέπει να προκύπτει ως σημείο τομής κύκλων ή/και ευθειών.

10/ Με άλλα λόγια, αν και στο Καρτεσιανό Επίπεδο υπάρχουν πάρα πολλά σημεία, μόνο κάποια από αυτά μπορούν να σχεδιαστούν με κανόνα και διαβήτη. Αυτά τα σημεία που μπορούν, δεδομένου του Ο, να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη θα τα λέμε *κατασκευάσιμα*.

11/ Μπορούμε, όμως, να δώσουμε ένα πιο αλγεβρικό χαρακτηρισμό των κατασκευάσιμων σημείων;

Στο επόμενο επεισόδιο...

Για τους βιαστικούς ➡️ aftermaths.gr/2021/09/26/%CE…

#μαθηματικά #Maths