Thread by @neuwirthe

#mathepuzzle
Ein paar Tage verspätet das Puzzle mit dem betrunkenen Gefängniswärter:
In einem Gefängnis gibts unendlich viele nummerierte Zellen.
Der betrunkene Gefängniswärter geht einmal durch und sperrt alle Zellen auf.
Im nächsten Durchgang sperrt er jede zweite Zelle zu,

im nächsten Durchgang geht er zu jeder dritten Zelle, wenn sie offen ist sperrt er sie zu,
wenn sie geschlossen ist, sperrt er sie auf. Dann mit jeder 4. Zelle usw.
Gibts Zellen, die zum Schluss offen sind? Wenn ja, welche Nummern haben die?

Grundprinzip der Lösung:
In der 2. Rund wird jede 2. Tür geändert, in der 3. Runde jede 3. Wenn also die Rundennummer ein Teiler der Türnummer ist, dann wird der Zustand der Türe invertiert.

Beispiel: Primzahlen (ab 2) werden in Runde 1 aufgesperrt und in ihrer
„eigenen“ Runde zugesperrt, also Zelle 2 in Runde 2, Zelle 3 in Runde 3 usw. Danach passiert nicht mehr, sie bleiben zu.

Alle Primzahlen sind also geschlossene Türen.
Prinzipiell wird der Zustand einer Türe geändert, wenn die Rundennummer die Türnummer teilt.

Beipiel:
Tür 6:
Runde 1 auf
Runde 2 zu
Runde 3 auf
Runde 4 bleibt offen
Runde 5 bleibt offen
Runde 6 zu
und ab Runde 7 geschieht mit Tür 6 nichts mehr.

Jeder Teiler der Türnummer ändert den Zustand der Tür, also kommt es darauf an, ob die Zahl der Teiler ungerade ist (dann ist die Tür am Ende offen) oder gerade (dann ist die Tür am Ende zu).

Jeder Teiler hat einen Partnerteiler. Beispiel wieder 6. 1 und 6 sind Partnerteiler, 2 und 3 sind Partnerteiler.

Teiler kommen eigentlich immer paarweise, also sollte die Anzahl der Teiler eine Zahl immer gerade sein.
Es kann allerdings sein, dass ein Teiler sein eigener Partnerteiler ist,
dann ist die gesamte Teilerzahl ungerade. Dann ist die Zahl eine Quadratzahl.

Alle Türen mit einer Quadratzahl als Türnummer bleiben also offen, und keine anderen.