Thread by @genkuroki

#数楽 そうなんです！ベータ函数や超幾何函数達は非常に面白い！高校で微積分を習っていればめっちゃ楽しめる。

B(p,q)=∫_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx

がよく使われるが、

B(p,q)=∫_0^∞ t^{p-1}/(1+t)^{p+q} dy

およびさらにt=u^{1/p}やt=u^2とおいた場合も応用上重要な点は盲点になり易い。

https://twitter.com/amayaki_sdorica/status/1331921261375614976

#数楽

B(p,q)=∫_0^∞ t^{p-1}/(1+t)^{p+q} dy

型のベータ函数の表示で t を t²/ν で置き換えて、p=1/2, q=ν/2 とおけば、本質的に自由度 ν のt分布が得られます。

t分布は非常に基本的な確率分布なのですが、ベータ分布の特別な場合(p=1/2)の変種と思えます。F分布はp=1/2の特殊化をやめた場合。

#数楽

B(p,q)=∫_0^∞ t^{p-1}/(1+t)^{p+q} dy

型のベータ函数の表示を知っていれば

Γ(p)Γ(q)=Γ(p+q)B(p,q)

を y = tx (yを直線の傾きtに変数変換)の形の積分変数変換で示せます。その計算の過程も面白いので知っておいて損がないです。

大学新入生向けの計算練習の題材としてもよい。

#数楽 ベータ函数を定積分から不定積分に一般化したものには「不完全ベータ函数」という名前が付けられてしまっているのですが、その部分積分を使って得られる公式の導出は高校3年～大学1年での計算練習として価値あるものになります。

ベータ分布と二項分布と負の二項分布の関係が得られます。

#数楽 記号が θ,p,q→p,a,bと変わっていることに注意。

二項分布における確率=ベータ分布における確率

負の二項分布における確率=ベータ分布における確率

の形式に公式が得られています。

これは統計学的には

通常のP値 = ベイズ統計での事後分布での確率

を意味する公式になっています。

#数楽 #統計 非常に困ったことに、「P値を使うことは有害であり、ベイズ統計における事後分布で測った確率を使おう！」と言っている人達がいます。

例えば豊田『瀕死本』は典型的。そこでの事後分布での確率とP値は数学的には同じものであり、P値を使ってP値を否定するデタラメな議論になっています。

#数楽 #統計 豊田『瀕死本』の著者は放送大学で心理統計の講義をしていたりするので本当に要注意。

大学新入生の段階で、部分積分のちょっと複雑な計算の練習をして、「P値=ベイズ統計での事後分布における確率」を意味する公式を得ておけば、おかしな議論の惑わされる可能性が減ると思います。

#数楽 大学1年生レベルの微積分の計算をきちんとしておくだけで、ノータイムで「これはデタラメ。相手にする価値がない」と判断できる場合が大幅に増えると思います。

現実の講義ではそこまでやる余裕はないのですが、基礎的な数学の教養+常識だけで相当なことをできることは常識になった方がよい。

#数楽 不完全ベータ函数も超幾何一族の一員です。

現時点ではコンピュータでの不完全ベータ函数の計算は2000行以上もあるコードで行われているようです↓

github.com/JuliaStats/Rma…

この辺を誰か整理して書き直して最適化すればよいのではないかと思います。

#数楽 多くの確率分布がベータ分布の変種になっているので、不完全ベータ函数=ベータ分布のCDFを効率よくコンピュータで計算できるようにしておくことは重要です。

これ、自分でやってみると分かるのですが、結構大変で、 #Julia言語 ではどうしているのか調べたら、2000行以上のCのコードが！(笑)

#数楽 特殊函数の教科書には漸近展開の公式が沢山書いてあり、コンピュータで計算するときにそれらが使われます。

引数の値ごとに効率的な公式が違うので、場合分けをして計算します。そのときに誤差をきちんと制御する必要がある。

こういう理由で特殊函数の実装は複雑になる場合がある。

#数楽 ベータ函数やガンマ函数について教える側にとって盲点になり易い応用上重要な事柄は沢山あって、このスレッドではそういう話をしているつもりなのですが、ガンマ函数の対数の導函数であるディガンマ函数もコンピュータで結構気楽に計算できることはもっと知られていてよいと思います。

#数楽 ディガンマ函数は

ψ(s)=(log Γ(s))'=(1/Γ(s))∫_0^∞ e⁻ˣ xˢ⁻¹ log x dx

はガンマ分布における log x の平均(期待値)です。これの導函数はトリガンマ函数で、高階の導函数はポリガンマ函数と呼ばれ、コンピュータで計算できる基本特殊函数達の一族の1つになっています。

#数楽 ガンマ函数とベータ函数は大学新入生向けの微積分の講義での定番の題材で、実際に知らないと困る場合が多い特殊函数なのですが、不完全ベータ函数、不完全ガンマ函数、ディガンマ函数などもよく出て来るし、コンピュータでの統計処理で必須なのですが、そこまで触れる時間的余裕はない感じ。

#数楽 対数ガンマ函数 log Γ(s) とその導函数達を扱うことは、そこからHurwitzのゼータ函数ζ(s,x)のs=0での偏微分係数が本質的に対数ガンマ函数になっているという結果

ζ_s(0, x) = log Γ(x) - log√(2π)

が得られるので、数論的にも重要です。

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro…

#数楽 Stirlingの公式

log n! = n log n - n + (1/2)log n + log√(2π) + O(1/n)

の究極形の1つは

log Γ(x+1) = ζ_s(0, x+1) + log√(2π)

にHurwitzゼータζ(s,x+1)の積分表示を適用すれば即得らる。

Hurwitzのゼータ函数の積分表示はStirlingの公式を含んでいる！

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro…

#数楽 大学1年生向けの題材にゼータ函数とガンマ函数の両方が入っているのですが、それらの関係に触れる余裕はない。

しかし、明らかに重要な関係があって、頻繁に応用される階乗のStirling近似の究極形の話も含まれている、というようなことは、数学を教えている側にもっと広まるべきだと思います。

#数楽 上で紹介した微積分のノートは

github.com/genkuroki/Calc…

に置いてあるファイルの一部分です。

教える側は知っているけど、講義では触れることが難しい価値ある題材をまとめたつもり。 #Julia言語 のコード付き。

単に理論的に扱うだけではなく、コンピュータでの計算の仕方もわかる。

#数楽 Hurwitzのゼータ函数と対数ガンマ函数の関係に興味を持った人は

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro…
#Julia言語

が楽しめると思います。

「s=0での偏微分係数から対数ガンマが得られ、対数ガンマ2つで対数sinが得られること」を、s=0からs=1-r (rは正の整数)に一般化するとMilnorの多重sinが得られる。