La probabilidad de que dos enteros positivos elegidos al azar sean coprimos es exactamente 6/π²🤯
Como siempre, el número π apareciendo en lugares donde no debería estar... ¿o sí? ¿Por qué aparece en este problema? 🤔
🧵Abro hilo con imágenes ⬇️
Como siempre, el número π apareciendo en lugares donde no debería estar... ¿o sí? ¿Por qué aparece en este problema? 🤔
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Primero que todo, dos números son coprimos si no tienen ningún divisor en común. Por ejemplo:
➤ 2 y 3 son coprimos.
➤ 42 y 14 no lo son (ambos comparten el 2 como divisor).
Así que la pregunta, si elegimos dos números al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean coprimos?
➤ 2 y 3 son coprimos.
➤ 42 y 14 no lo son (ambos comparten el 2 como divisor).
Así que la pregunta, si elegimos dos números al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean coprimos?
En realidad, es difícil explicar lo que significa "elegir al azar" entre todos los enteros positivos. Aquí lo entenderemos, como elegir un número al azar en el conjunto {1,2,...n} y hacer tender n a infinito 🤷♂️
Pues bien, a simple vista, y simplificando mucho, si escogemos al azar dos números a,b y un primo p.
➤Probabilidad de que a sea divisible por p: 1/p.
➤Probabilidad de que ambos sean divisible por p: 1/p².
➤Probabilidad de que no sean divisibles por p los dos a la vez: 1-1/p²
➤Probabilidad de que a sea divisible por p: 1/p.
➤Probabilidad de que ambos sean divisible por p: 1/p².
➤Probabilidad de que no sean divisibles por p los dos a la vez: 1-1/p²
Entonces, la probabilidad total resulta de multiplicar esta expresión pasando por todos los números primos. Pero, ¿hay alguna expresión cerrada para esto?
Pues resulta que sí. Usando la expresión de la función Zeta de Riemann como producto infinito. Se llega a que es igual a la inversa del resultado del problema de Basilea. Esto es:
1/(π²/6)=6/π² ∎.
1/(π²/6)=6/π² ∎.
En esta simulación podéis ver que efectivamente el resultado es cercano a este valor. Aún así, solo he generado números aleatorios del 1 al 1000, por lo que el resultado no es del todo exacto.
Como comprenderéis, no puedo generar números al azar entre todos los naturales xD
Como comprenderéis, no puedo generar números al azar entre todos los naturales xD
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¡Gracias por leer y buen día! 🌞
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