¿Cómo podemos graficar funciones complejas (4D)?🤔
Resulta que existe un método usando colores y luminosidad: 🔴🟠🟡🟢🔵🟣
🧵¡Abro hilo y os cuento!
PD: Se agradece difusión si os ha gustado ✌️
#matemáticas #divulgación
Resulta que existe un método usando colores y luminosidad: 🔴🟠🟡🟢🔵🟣
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Como tod@s sabéis, las funciones reales de dos variables se pueden graficar en el espacio euclídeo usual, asignando a cada punto (x,y) una altura f(x,y).
Las funciones complejas no pueden hacer esto, puesto que el conjunto de llegada también tiene dos dimensiones. ¿Qué hacemos?
Las funciones complejas no pueden hacer esto, puesto que el conjunto de llegada también tiene dos dimensiones. ¿Qué hacemos?
Una idea interesante es asignar a cada valor complejo un color, dependiendo de su argumento (ángulo), y una luminosidad, dependiendo de su módulo.
En la imagen podéis ver qué color se le asigna a cada ángulo.
A módulo más pequeño, más oscuro. Si tiende a infinito, más luminoso.
En la imagen podéis ver qué color se le asigna a cada ángulo.
A módulo más pequeño, más oscuro. Si tiende a infinito, más luminoso.
Por ejemplo, para la función f(z), se grafica de la siguiente forma.
Como se tiene que f(0)=0, cerca de este punto se puede ver una especie de agujero negro.
Además, los ángulos coinciden con los que habíamos definido, puesto que se trata de la función identidad.
Como se tiene que f(0)=0, cerca de este punto se puede ver una especie de agujero negro.
Además, los ángulos coinciden con los que habíamos definido, puesto que se trata de la función identidad.
Es interesante ahora ver qué pasa con la función recíproca: f(z)=1/z. En este caso ocurre al revés, cerca de z=0 el módulo de f tiende a infinito, por lo que se crea una especie de agujero blanco, lo contrario a lo que pasaba con f(z)=z.
Como habréis deducido, graficar de esta forma nos permite ver a simple ojo donde están los ceros (oscuro) y los polos (blancos) de una función.
Por ejemplo, con f(z)=(z²-1)/(z²+1), se ve claramente que tiene los ceros en {1,-1}, y los polos en {i,-i}.
Por ejemplo, con f(z)=(z²-1)/(z²+1), se ve claramente que tiene los ceros en {1,-1}, y los polos en {i,-i}.
Y aquí algunos ejemplos de funciones usuales.
Sin, cos, exp y log.
Sin, cos, exp y log.
Pero no todo son polos o ceros. Hay otra singularidad conocida como ESENCIAL, aquella que no es un polo. Ni existe el límite de f ni de 1/f cuando z tiende a 0.
Aquí se puede ver que cerca de z=0 hay un agujero blanco y otro negro pegados, además de muchos colores. ¿Qué ocurre?
Aquí se puede ver que cerca de z=0 hay un agujero blanco y otro negro pegados, además de muchos colores. ¿Qué ocurre?
El Gran Teorema de Picard nos dice que en cualquier entorno de una singularidad esencial, se toman todos los valores complejos una infinidad de veces a excepción de uno (en este caso el 0).
Esto lo podéis ver en el dibujo, siempre están todos los colores dentro del círculo.
Esto lo podéis ver en el dibujo, siempre están todos los colores dentro del círculo.
Aquí tenéis una herramienta online de cortesía de @jcponcemath para plotear las funciones que queráis.
dynamicmath.xyz/complex/dctool…
¡Muchas gracias!
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¡Muchas gracias!
Y hasta aquí llega el hilo. Si os ha gustado, tenéis mucho más contenido divulgativo de matemáticas en el canal de Youtube.
¡Que tengáis buen día! 😊
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