Thread by @genkuroki

#数楽

∫ xⁿ eᶜˣ dx 型の不定積分は本質的に

　不完全ガンマ函数

と呼ばれる基本特殊函数(統計学などで使用される)になっていることを、高校生に数学を教える人達には知っておいて欲しいと思いました。

γ(s, x) = ∫_0^x tˢ⁻¹ e⁻ᵗ dt

ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D…

https://twitter.com/hirokazuohsawa/status/1439520489379033088

#数楽 関連スレッド

高校数学IIIの教科書に出て来る断片的な計算例の多くが、実戦的な応用で必要な数学を理解するために必要な具体的な計算例にもなっています。

天下り的に何の価値があるか不明の計算をやらされるのではない方が勉強し易く感じる高校生は結構多いのではないかと思います。

https://twitter.com/genkuroki/status/1303952055401246720

#数楽

∫_a^b (x - a)^A (b - a)^B dx

の形の定積分は本質的にベータ函数

B(p, q) = ∫_0^1 t^{p-1} (1 - t)^{q-1} dt

です。さらに t = (cos θ)² とおけば

∫_0^{π/2) (cos θ)^C (sin θ)^D dθ

も本質的にベータ函数であることが分かります。

#数楽 ベータ函数の不定積分版は不完全ベータ函数と呼ばれており、正規分布から派生する多くの分布の統計学において最も基本的な基本特殊函数になっています。

正規化された不完全ベータ函数について
↓

https://twitter.com/genkuroki/status/1349134928206733313

#統計 以上で紹介した不完全ベータ函数の計算は、二項分布モデルと負の二項分布モデルにおける片側検定のP値をベイズ統計で再現するためにも使えます。その場合には、P値を使う計算がそのままベイズ統計の計算とぴったり一致します。

「頻度論vs.ベイズ主義」という見方のアホらしさもこれでわかる。

https://twitter.com/genkuroki/status/1355269524052791296

#数楽 もちろん少し上で紹介した計算を所謂「部分積分」でやる必要はないです。お好きなようにやればよい。

ただし、単に計算するだけだと、その面倒な計算の先にどんな素晴らしい世界が開けているのか見えなくなってしまう場合があります。視野を広げて色々勉強した方がずっと楽しくなります。

#統計 街の様子をよく理解している人は散歩で普通の人が入り込まない路地にまで入り込んで街の様子を楽しんでいる。

数学の場合にもそういう感じで街の様子を理解するために路地に入り込むような具体的な計算をやっておくと楽しいです。

#統計 訂正：手書きで「項」の字を書いてしまう癖が！(笑)

❌成項
⭕️成功

おまけのページを1つ追加

https://twitter.com/genkuroki/status/1439882759829278721

#数楽 #統計 ベータ函数の表示で

B(p, q) = ∫_0^1 x^{p-1} (1 - x)^{q-1} dx

は定義としてよく採用されるが、x = t/(1+t) とおくことによって得られる

B(p, q) = ∫_0^∞ t^{p-1}/(1+t)^{p+q} dt

も大事。この表示からt分布やF分布などの正規分布から派生する分布達が得られる。

#数楽 ベータ函数の表示として、

∫_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx
∫_0^∞ t^{p-1}/(1+t)^{p+q} dt (およびtのt²による置換版)
2∫_0^{π/2} (cos θ)^{2p-1} (sin θ)_^{2q-1} dθ

くらいは知っておかないと不便。この3つのどれを使っても

Γ(p)Γ(q)=Γ(p+q)B(p,q)

を示せる。大学新入生向けの練習問題。

#数楽 高校数学IIIの教科書によく書いてある積分の計算問題が、このスレッドに書いた話に直接的に繋がっていることを、数学を高校生に教える人は知っているとお得。

このスレの内容を理解した後で大学入試問題の過去問を眺めると出題者がどこからネタを拾って来ているか分かる場合も出て来るだろう。

#数楽 大学入試に特化された不合理な数学の勉強を高校生に勧めることは避けて欲しい。

しかし、数学的本質や応用上重要な事柄を理解している人達が、入試問題の背後にある普遍的に重要な事柄を見抜いた上で、高校生に受験対策の数学を教えることであれば、社会的に大いに歓迎するべきことだと思う。