Thread by @genkuroki

#数楽 統計学の勉強と無関係に、弧度法による角度の定義とtanの定義まで戻れば、直線 y = ax とx軸で挟まれた部分の角度が

θ = arc tan a = ∫₀ᵃ dt/(1 + t²)

になることが直接的に導けることを確認すると、高校で習ったことの再構成ができてうれしいかも。続く

genkuroki.github.io/documents/High…

https://twitter.com/arts_lib/status/1469673576857235458

#数楽 x²+y²=1の右半分とy=txの交点は

(x(t), y(t)) = (1/√(1+t²), t/√(1+t²))

になります。これの軌跡のt=0からt=aまでの長さが弧度法の意味での角度θの定義なので、

θ = arc tan a = ∫₀ᵃ √(x'(t)²+y'(t)²) dt

です。ここでarc tanは角度θをaに対応させる函数tanの逆函数。続く

#数楽 ここまで、高校の数学の教科書に書いてあることしか使っていないことに注意。図を自分で描けば分かり易い。

上の場合にちょっと計算すると

√(x'(t)²+y'(t)²) = 1/(1+t²).

これが arc tan t の導函数であることは、角度とtanの高校数学の教科書における定義からほぼ直接的に導かれる。

#数楽 以上と同じことを sin についてもやっておくと、三角函数論の基礎付けができたと考えられます。

さらに、arc tan & tan や arc sin & sin と類似の方法で、log & exp の理論も作れることまでやっておくと、一周回れた感じ。

genkuroki.github.io/documents/Calc…

#数楽 arc tan & tan の図

#数楽 arc tan t の導函数が 1/(1 + t²) になることで印象的なのは、tan という超越函数の逆函数の arc tan という恐ろしそうに見える函数の導函数が簡単な有理函数になってしまうことです。

これはarc tan & tan の理論が簡単な有理函数から出発して(再)構成できることを意味しています。

#数楽 θ = arc sin y の導函数も 1/√(1 - y²) と簡単な代数函数になる。y = sin θ の微分はその逆数 √(1 - y²) = cos θ になる。sin θの導函数が cos θ になることは、角度とsin, cosの定義まで戻れば特別なアイデア抜きに出て来ることです。

高校数学の話題も整理し直せば透明感が全然違って来る。