Hoy en las matemáticas de #AprendemosEnCasa vamos a hablar de nuestro sistema de numeración. El sistema decimal posicional.
¿Por qué algo que a los adultos nos parece sencillo cuesta tanto a los niños? ¿Quién lo inventó? ¿Cómo surgió? ¿Hay otras maneras de contar? ¡Trataremos todo esto y mucho más!
Algo podría indicarnos que nuestro sistema de numeración es intuitivo, que es el que usamos a diario porque «nos salió así», pero para nada es así. De hecho, la humanidad ha tenido muchísimos sistemas de numeración antes que el actual.
Vamos a hacer un viaje matemático en el tiempo, que nos llevará por diferentes épocas y culturas. ¡Vamos, Doc!
Primera estación: hace 4500 años. Sumeria, Mesopotamia. Una de las primeras representaciones de cantidades fueron aquí, cuando se contaron cantidades: ovejas, vasijas, personas... Debían llevar la cuenta y en una vasija de barro se guardaron los primeros números de la historia 
¿Y cómo eran estos números? Pues usaban una «piedrecita» para la unidad, otra para el grupo de diez, otra para el grupo de sesenta, otra para el de seiscientos... Aquí tenéis los diferentes números.
¿No es emocionante? ¡Los primeros números de la historia! Estamos hablando de hace miles de años y no se parecían en nada a los nuestros. Pasaron siglos hasta que a alguien se le ocurrió la maravillosa idea de hacer marcas en las vasijas. Ahí empezó la escritura.
¡Cómo! ¿Se escribieron antes los números que las letras? Efectivamente. Los babilonios fueron los que instauraron el primer sistema posicional, y era sexagesimal, y a quienes debemos nuestro sistema horario. Aquí tenéis los símbolos.
¿Por qué contamos de 60 en 60 los segundos y minutos? Es por los babilonios. Además, se dieron cuenta que algunos números diferentes se escribían igual, por ejemplo el 2 y el 120 se podían confundir. Introdujeron el «espacio», con lo que intuyeron el «cero» como separación. Wow.
Si avanzamos en la historia, hay dos civilizaciones que heredaron parte de la cultura babilónica: los egipcios y los romanos. De todas maneras ninguno de los dos usó el sistema posicional, como bien sabéis.
El sistema egipcio es aditivo, con símbolos para la unidad, la decena, la centena, la unidad de millar, la decena de millar, la centena de millar y el millón. Cuando querían escribir grandes cantidades, se repetían los símbolos.
El sistema romano lo conocemos bien. Parecido al egipcio, se añadieron símbolos para una base auxiliar: el 5, el 50, el 500, el 5000... No fue hasta más tarde que se introdujeron las reglas de «la resta».
De todas maneras, el sistema romano tampoco era posicional, cosa que limitaba mucho las capacidades de representación del cálculo. Y así, en Europa, pasaron siglos y siglos... Hasta que llegaron los árabes.
¡Sí! El sistema de numeración proviene gracias a la expansión arábiga, pero el sistema posicional decimal es invención hindú, por lo que se debería llamar sistema posicional indoarábigo.
La idea es la siguiente: 10 símbolos (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9) para las cantidades antes de la decena, y a partir de la decena, contamos cuantas decenas y cuantas unidades tenemos.
Los hindús, además, introdujeron todo un sistema de representación que ayudaba a 1) representar grandes cantidades y 2) hacer operaciones con estas cantidades sin necesidad de un ábaco.
Los árabes ahí dieron el do de pecho. Los árabes desarrollaron algoritmos muy eficientes para hacer operaciones aritméticas (de hecho, la palabra proviene de al-Khwarizmi, un matemático árabe).
Y ese fue el argumento de peso para que Fibonacci, el hijo de un comerciante de Pisa, publicase el libro que cambiaría las matemáticas en Europa en 1202: el Liber Abaci.
Aún así, se tardaron siglos para superar el sistema de numeración romano y los ábacos como elementos de cálculo. Fue un gran avance para la ciencia.
Las implicaciones para el aula son muy fuertes. No podemos pretender que este conocimiento, que ha pasado por alto para muchas civilizaciones, sea aprendido «por intuición» o de manera «rápida».
Para ello las primeras representaciones de las cantidades deben seguir un proceso que vaya de la mano de la intuición y de la comprensión. Contar con los dedos aquí es esencial.
Empezamos contando cantidades que no superan el diez, pero en un momento dado ya empezamos a superar la decena y descubrimos que los dedos no nos bastan. ¿Qué hacemos entonces? ¡Volvemos a empezar!
Entonces el uso de materiales nos puede ayudar muchísimo. Un ejemplo son los tapones: cuando llegamos a tener diez unidades, rellenamos un tapón y los que nos sobran los ponemos fuera. ¿Cuántos hay aquí? Un grupo de diez y seis unidades.
Para representarlos también hay diferentes fases: una de ellas es asociar con puntos todos y cada uno de los elementos. Luego, podemos agrupar los diez en un símbolo diferente, el tapón.
Más adelante podemos introducir los símbolos, teniendo en cuenta que para escribir el diez decimos que tenemos un grupo de diez y ninguno suelto. Este es el paso más difícil y complejo de nuestro sistema.
Y luego ya podemos superponer los símbolos. Aquí un material fantástico son las tarjetas de Montessori. Se trata de superponer las cantidades de manera que siempre podamos deshacer. Aquí tenéis un documento para imprimir: dropbox.com/s/nz7p09cd23x4…
¿Cuánto es 354? 300+50+4. Saber ir hacia delante y hacia atrás este proceso es esencial en los algoritmos, como hemos visto. Fuente: apliense.xtec.cat/arc/sites/defa…
Y bueno, hasta aquí nuestra propuesta de hoy para ayudar a comprender el sistema de numeración decimal.
Resumiendo: se trata de un concepto muy complejo, que necesita de comprensión y de paciencia por parte de los docentes, y de estrategias diferentes para poder conseguir una comprensión adecuada.
Muchas imágenes están extraidas de la actividad "El Tresor dels nombres" del CentMat. Os recomiendo su lectura pausada: xeix.org/Centre-Aprenen…
Y otra lectura muy recomendada es el blog de Joan Jareño @Calaix2 calaix2.blogspot.com y la parte de "Calculus": xtec.cat/~jjareno/calcu…
¡Hasta mañana y recordad, las matemáticas son maravillosas!
