Thread by @pgroisma

El 28 cumplió Gödel, el 30 Gauss, hoy día del trabajador y yo tipo

🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 🅳🅴 🅱🅰🆈🅴🆂
(o... por qué un test positivo y un infectado pueden ser cosas muy distintas)

#TeRegaloUnTeorema

Es uno de esos teorema en los que el cociente entre la dificultad de su demostración y lo profundo de su enunciado + su impacto da casi cero. Tanto que suele pasar que a primera vista no se comprende por qué lleva el mote de teorema.

Dice así, si A y B son dos eventos y llamamos P(A|B) a la probabilidad de que ocurra A, teniendo la info de que ocurrió B, entonces la probabilidad de que ocurra B, sabiendo que ocurrió A es

P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A).

Y la demostración es facilísima, una vez que nos convencemos de que P(B|A) = P(B y A)/P(A) porque entonces P(B y A) también es igual a P(A|B)P(B).

La cuestión es que este teorema que SI se puede demostrar en un tweet, y es muy profundo porque:

1. Nos enseña que no solo podemos fijar las condiciones de un experimento y calcular las probabilidades de los posibles resultados sino que también podemos observar el resultado y preguntarnos por las probabilidades de los posibles escenarios que lo generaron (y responder).

2. Esto suena a fundamental a la hora de querer inferir cuestiones a partir de observaciones. Lo que hoy llamamos estadística. Bah, también lo llamamos machine learning, data science, big data y otros cuantos nombres más.

En realidad, dicho así es lo que hoy se llama estadística Bayesiana y es solo un posible enfoque. Hay también otros y durante muchos años formaron juntos la gran grieta de la estadística, al lado de esa, la que tenemos en 🇦🇷 es un poroto. Con grandes exponentes de ambos lados.

3. Nos enseña que P(B|A) y P(A|B) pueden ser muy distintas y no hay que confundirlas.

Ponele que queremos hacer un test para detectar un anticuerpo determinado (el del corona, ponele). Si queremos saber si el test es posta o maso, nos interesa saber si un individuo al que el test le dio positivo, realmente tiene el anticuerpo (o lo que sea que queramos testear)...

... o al menos que la probabilidad de que eso pase sea alta.

Llamemos

TP = test positivo,
TN = test negativo,
A = tiene anticuerpos,
NA = no tiene anticuerpos.

La info que podemos tener es P(TP|A) (sensibilidad) y P(TN|NA) (especificidad) porque así se evalua la performance del test, haciéndolo en gente que se sabe tiene (o no) los anticuerpos y viendo que da. Pero lo que nos interesa es

P(A|TP)

... que por el Teo de Bayes, lo podemos calcular haciendo

P(A|TP) = P(TP|A)P(A)/P(TP)

En este hermoso hilo

https://twitter.com/taaltree/status/1248467732774785024?s=20

@taaltree nos cuenta números sobre el

Cellex qSARS-CoV-2 IgG/IgM Rapid Test (y mucho más).

Y nos dice que la sensibilidad es 93.8% y la especificidad 95.6%. Bastante bien (¿¿¿o no???) 🤔🤔🤔

Para hacer las cuentas necesitamos P(A). Eso es, si elegimos una persona al azar, qué probabilidad tiene de tener los anticuerpos. Se corresponde con el porcentaje de infectados en la población, que justamente no lo sabemos.

Pero dado que hay unos 4.500 casos confirmados, podemos hacer cuentas conservadoras (o sea, exagerar) y asumir que la cantidad de infectados es 30 veces eso. Unos 135.000. Eso es el 0.3% de la población del país. O sea que P(A)=0.003.

Con estos números podemos calcular P(TP) con una cuenta que no viene al caso (probabilidad total) pero (creanme) da 0.049. O sea que

P(A|TP) = 0.938*0.003/0.049 = 0.06

Es decir que cuando el test da positivo, la probabilidad de tener realmente los anticuerpos es 0.06.

Y la de no tenerlos es 0.96!!

Esto pasa porque, al menos por ahora, la prevalencia P(A) es muuuy baja. El hecho de saber que a alguien el test le dio positivo hace que aumente mucho su probabilidad de tener los anticuerpos (se multiplicó por 20!, el test hizo bien su trabajo), pero sigue siendo muy baja.

Así que ojo! Una cosa es P(TP|A) y otra muy distinta es P(A|TP).

Mañana les traigo otro ejemplo donde, a veces, se confunden estas dos probabilidades.

Hoy, feliz día del trabajador!

#TeRegaloUnTeorema.