Thread by @pgroisma

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de M.C. Escher

¿Qué hay en el agujero del medio?

#TeRegaloUnTeorema, #TeRegalaUnaRespuesta
(sigue)

La litografía de Escher de es una obra espectacular, pero no me digan que no los irrita el agujero blanco en el centro con su firma.

Pareciera ser que Escher no supo cómo resolver esa parte. O tal vez sí, y lo que vió fue tal que prefirió dejar el agujero.

Miren bien. ¿Qué debería haber ahí?

En la obra de Escher hay dos fenómenos superpuestos. El primero es lo que en Holanda llaman “efecto Droste” y que por estos pagos podríamos llamar “efecto polvo royal”.

Droste es una marca de cacao holandesa que, al igual que el polvo de hornear royal, en su envoltorio puede verse una copia de él mismo.

Pero entonces en la copia de él mismo tiene que haber una copia de él mismo, etc... y tiene que seguir infinitamente.

Fíjense que en la obra Escher hay una galería en donde un hombre mira un cuadro en el que hay una galería...

El otro fenómeno es una deformación del plano muy particular. Escher, después de varios intentos y muchos dolores de cabeza llegó a diagramar esta grilla que usaría para deformar el dibujo "sin deformar".

Los cracks de de Smit y Lenstra se preguntaron si Escher había usado una fórmula para hacer esa deformación o si simplemente usó su intuición geométrica. Si bien llegaron a la conclusión de que esto último es lo más probable, intentaron encontrar una fórmula de todos modos

Acá entra el Análisis complejo, una área de la matemática que estudia funciones cuyo dominio, en lugar de ser un subconjunto de los números reales, es un subconjunto de números complejos. Los valores que devuelven las funciones también son complejos.

Lo primero que nos viene a la mente cuando nos hablan de nros. complejos es √-1, pero lo importante acá (y en general) no es eso sino que a los nros complejos se los puede identificar con los puntos del plano: la x representa la parte real y la y representa la parte imaginaria.

Entonces una función que agarra un número complejo y te devuelve otro número complejo es lo mismo que una función que agarra un punto del plano y te devuelve otro punto del plano.

Justo lo que estamos buscando! Decidir cómo tenemos que mover cada punto del plano para tener la deformación que hizo Escher en su Prentententoonstelling.

Pero la función de Escher tiene algo muy particular. Los matemáticos decimos que es una “aplicación conforme”.

Eso quiere decir que preserva los ángulos: si dos rectas se cruzan formando un ángulo recto, cuando las deformamos obtenemos dos curvas que se cruzan, pero que también forman un ángulo recto.

Fíjense que eso pasa en la obra de Escher. Miren los marcos de las ventanas y de los cuadros, la intersección de las columnas con el piso, las vigas.

Eso permite restringir mucho la búsqueda. de Smit y Lenstra dedujeron que la función tenía que ser h(z)=z^a con a=2πi/(2πi+log 256). Probaron de reconstruir la grilla de Escher con esta fórmula y les dio esto. Bastante bien!

Entonces agarraron la obra de Escher, la enderezaron aplicando la función inversa de h (la que endereza la grilla, y toda la obra) y les quedó esto. Fíjense a dónde fue a parar el agujero blanco al enderezarlo.

Completaron el agujero siguiendo las reglas del efecto Droste y después la volieron para atrás aplicando h a todos los puntos. Les quedó así.

Y para que podamos ver bien lo que hay en el agujero, nos regalaron esto

También nos lo regalan para la versión enderezada, que es mucho más aburrida

#TeRegaloUnTeorema, #TeRegalaEstaJoyita

Buen Viernes!!

Ahhhhh

1. Las aplicaciones conformes juegan un rol fundamental en varias áreas de matemática y física.
2. El artículo completo con todos los detalles de la explicación y el sitio web con todo el trabajo de Lenstra, de Smit y equipo lo pueden encontrar acá escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu…

3. Para ser correcto, el primer paso, el de enderezar la imagen, no lo hicieron con la inversa de h sino con la propia grilla de Escher.

Listo. Chau!