A 40 años de “The Wall”
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 del ladrillo (aleatorio) en la pared.
Si en lugar de poner los ladrillos como en la pared de The Wall permitimos que vayan acostados o parados (como en la otra foto). ¿Cuántas formas hay de hacer la pared?
#TeRegaloUnTeorema
(sigue)
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 del ladrillo (aleatorio) en la pared.
Si en lugar de poner los ladrillos como en la pared de The Wall permitimos que vayan acostados o parados (como en la otra foto). ¿Cuántas formas hay de hacer la pared?
#TeRegaloUnTeorema
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🗣️Acordate de retwitear si no queres ser otro ladrillo la pared.
El teorema se lo debemos a Kastelyn (1961) y es super relevante porque tiene que ver con entender cómo se acomodan moléculas largas y finitas para formar "cristales líquidos". Los ladrillitos juegan el papel de las moléculas.
A veces es más fácil pensarlo como que queremos cubrir un tablero de ajedrez con fichas de dominó. ¿Cuántas formas hay de hacerlo?
El problema es equivalente a contar la cantidad de “perfect matchings” en un grafo donde ponemos un punto por cada casillero y una arista si los casilleros se tocan.
Un perfect matching del grafo es armar parejitas de nodos vecinos pero que nadie se quede sin pareja. Como en la foto.
Imaginate que tenés un tablero de ajedrez infinito y quedate con un cacho del tablero, con la forma que quieras, pero un solo cacho. ¿Cuántas formas hay de cubrir ese cacho con fichas de dominó? (las casillas que no están completamente en nuestro cacho no nos importan)
Ahora nos zarpamos un cacho: numerá las casillas y armate una matriz que en la fila k, columna j tenga un 1 si las casillas están pegadas "horizontalmente", un i=√-1 si las casillas están pegadas "verticalmente" y un cero si no están pegadas.
A esa matriz calculale el determinante y después la raíz cuadrada del módulo. Listo! Esa es la cantidad de formas que tenés de cubrir ese cacho del tablero con fichas de dominó.
En un tablero de ajedrez de 8x8, podemos armar la matriz y hacer la cuenta. Da 12.988.816
La demostración no es dificil y pueden encontrarla en arxiv.org/pdf/math/03103…
La demostración no es dificil y pueden encontrarla en arxiv.org/pdf/math/03103…
Ah! Si agarramos nuestro tablero de ajedrez infinito, nos quedamos con una región con forma de rombo y elegimos una forma de cubrirlo AL AZAR ¿qué obtenemos?
En el medio se parece mucho al caso del cuadrado, la foto del principio. Pero mirá lo que pasa en las esquinas!
Se forma un círculo en el medio. Adentro del círculo se ve como antes y en las esquina queda algo NO ALEATORIO!
Se llama Teorema del Círculo Ártico.
Se forma un círculo en el medio. Adentro del círculo se ve como antes y en las esquina queda algo NO ALEATORIO!
Se llama Teorema del Círculo Ártico.
Decime si no te dejé a punto caramelo para salir a romper (aleatoriamente) la pared. #TeRegaloUnTeorema
