Thread by @pgroisma

Cambio de quincena, ¿por qué el otro carril va más rápido que el mio?

🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 El paseo al azar simple y simétrico es recurrente nulo en dimensión 1 y 2 y transitorio en dimensión tres o más.

Calma. Explicaremos todo, pero hay que leerse el hilo. #TeRegaloUnTeorema

Kakutani lo decía así: un hombre borracho volverá a casa con seguridad, un pájaro tal vez no.

¿Y que tendrá que ver esto con el maldito auto que estaba al lado mío en el embotellamiento y ahora lo veo cada vez más lejos?

Ruta 2. Calor. Cambio de quincena. Todo embotellado. Cada tanto avanzamos un poquito y todo se vuelve a detener. ¿Qué carril es mejor?

Nos medimos con el auto de al lado.

Esa maldita Suran roja que está al lado nuestro, en el carril vecino, y que nos morimos por dejarla atrás es nuestro parámetro. Si la dejamos atrás es que elegimos el carril correcto, si le miramos la patente trasera es porque otra vez elegimos el carril equivocado.

La Suran se fue un poquito para adelante. ¿Podremos alcanzarla antes nuevamente?

Vamos a poner un modelito: miramos a cuántos autos de distancia está la Surán. Un auto adelante nuestro es un 1, dos autos 2, etc. Si nosotros vamos adelante usamos números negativos. -1 es que vamos 1 adelante nosotros, -2 es que estamos dos autos adelante, etc.

Vamos a mirar la situación cada vez que hay un cambio y vamos a asumir que no hay ninguna razón por la cual una carril tenga que ir más rápido que el otro.

Entonces cada vez que observamos la situación puede pasar que la cantidad de autos que nos aumente en 1 o disminuya en 1. Vamos a asignarle probabilidad ½ a cada una.

Lo que nos quedó se llama Paseo al azar simple y simétrico unidimensional.

Paseo al azar porque elegimos al azar si aumentamos en uno (ir para la derecha) o disminuimos en uno (ir para la izquierda). Simple porque nuestras opciones son las más simples que puede haber: solo podemos ir uno para la izquierda o para la derecha.

Simétrico porque asignamos la misma probabilidad a ambas. Unidimensional porque nos movemos en una sola dimensión.

Podría ser en dos.

O en tres.

También podría ser en más de tres, pero no tengo dibujitos.

Estos paseos al azar son los mismos que uso Einstein para demostrar que existen los átomos y las moléculas.

https://twitter.com/pgroisma/status/1214291551045730307?s=20

O Bachellier para modelar los mercados financieros. Y se usan hoy para modelar en áreas como genética de poblaciones, ecología, epidemiología, física de polímeros, computación, comunicaciones, neurociencias y dentro de la propia matemática.

Una de las primeras preguntas que aparecen cuando estudiamos estos objetos es si podemos asegurar que el caminante aleatorio volverá alguna vez al punto de partida hoy si puede pasar que no vuelva nunca.

Y en el caso que de que ocurra lo primero nos preguntamos también cuánto tiempo tardará (en promedio) en volver.

Si existe la posibilidad de que no vuelva nunca, decimos que es transitorio (podríamos llamarlo nómade).

Si vuelve con seguridad decimos que es recurrente. Fíjense que en este caso no solo volverá una vez si no que lo hará infinitas veces. 🤔🤔🤔

Si además de volver con seguridad, el tiempo que tarda (en promedio) en una cantidad finita, decimos que es recurrente positivo, y si es una cantidad infinita, decimos que es recurrente nulo.

Y ahora de vuelta el teorema

🅴🅾🆁🅴🅼🅰 El paseo al azar simple y simétrico es recurrente nulo en dimensión 1 y 2 y transitorio en dimensión tres o más.

O sea que si la Surán nos pasa en algún momento, podemos asegurar que (si nos tomamos infinito tiempo) en algún momento la vamos a alcanzar, pero el tiempo que tendremos que esperar para que eso pase es (en promedio) INFINITO! 😱😱😱😱

Te deseo que no estés leyendo esto en medio del embotellamiento, y encima de regreso. Pero si ese es el caso, al menos #TeRegaloUnTeorema.