Salió publicado el artículo del gen ventajoso, así que esta semana #TeRegaloUnTeorema autobombo.
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰En fenómenos de propagación de frentes, conviene tener en cuenta a los efectos microscópicos (a veces)...
(sigue)
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰En fenómenos de propagación de frentes, conviene tener en cuenta a los efectos microscópicos (a veces)...
(sigue)
En 1937 Fisher por un lado y Kolmogorov y amigos (¡Petrovskii y Piskunov!) por el otro propusieron una ecuación diferencial para modelar la propagación espacial de un gen ventajoso... 
Esa ecuación terminó siendo súper importante porque sirve también para modelar otros fenómenos en ecología, fisiología, combustión, cristalización, física del plasma y muchos problemas con transiciones de fase en donde se superponen un proceso de "difusión" y uno de "reacción"..
Más allá de la fórmula, la idea es modelar una función u(x,t) que representa la proporción del gen ventajoso (en comparación con el precursor) en la posición x en el tiempo t...
Lo de la izquierda del = dice que nos van a contar cómo varía en el tiempo esa cantidad y lo que está a la derecha dice que esa variación está compuesta por dos partes. El primer término se llama difusión. Dice que se va comportar como si inyectaramos tinta en un tubo con agua...
y vemos qué pasa con las partículas de tinta. La tinta se "difunde", al igual que el gen ventajoso. Pero no sólo eso pasa. El segundo término se llama reacción y dice que además u(x,t) va a crecer una cantidad igual a u(x,t)(1-u(x,t))...
Fíjense que u(1-u) es 0 cuando u=1 o u=0, es decir que cuando está todo copado por el gen ventajoso o por el gen desventajoso, este término no hace nada...
Pero si hay un poco de cada uno, el gen ventajoso empieza a propagarse por sobre el desventajoso. La famosa selección natural de Darwin..
Eso hace que si ponemos a todos los organismos en en una línea, con todos los de genes ventajosos a la izquierda y los desventajosos a la derecha y dejamos evolucionar de acuerdo a este modelo, vamos a ver una cosa así. El gen ventajoso avanza sobre el otro.
Eso se llama una "onda viajera". La joda es que NO hay una única onda viajera para este problema. Hay infinitas, que viajan a distintas velocidades. Eso no está bueno desde el punto de vista del modelado porque no podemos saber cuál de todas es la que modela nuestro fenómeno.
Cuando uno modela "algo" con la solución de una ecuación, necesita que esa ecuación tenga una única solución, o al menos tener una forma de saber cuál de todas las soluciones es la que responde a nuestro modelo.
Tanto Fisher como KPP se habían dado cuento de este problema e incluso de dónde provenía: en este modelo estamos asumiendo que hay muchiiisimos organismos y que podemos reemplazar el comportamiento aleatorio que modela el fenómeno (a nivel microscópico), por uno determinístico...
(usando la Ley de los grandes números). El tema es que si bien eso está ok en regiones donde hay muchos organismos con el gen ventajoso y muchos con el desventajoso, no está del todo bien en regiones donde hay poquitos (u=0 o u=1).
En esas regiones hay que tener en cuenta el comportamiento microscópico, ¡que es aleatorio!
Cuestión que con Juli Martínez y Matt Jonckheere propusimos un modelo que tiene en cuenta eso (¡no fuimos los primeros! hay propuestas anteriores, pero no entran en un tweet).
El modelo es así: hay N "partículas" cada una de ellas evoluciona independientemente como un Movimiento Browniano (para los que no lo conozcan, se mueve como una partícula de tinta en agua).
Pero además, cada tanto una partícula se divide en dos (reproducción) y al mismo tiempo una partícula se muere. La forma de elegir quién muere y quién se reproduce es así: elegimos dos partículas al azar, la que está más a la izquierda es la que se reproduce...
... y la que está más a la derecha es la que se muere. Este es el mecanismo de selección! (asumimos que los genes más ventajosos son los que están más a la izquierda).
Lo que probamos con Juli y Matt es que para este modelo hay una única onda viajera que viaja a una única velocidad que llamamos v. Y que cuando la cantidad de partículas tiende a infinito, la nube de partículas se comporta igual que la solución de la ecuación de Fisher, y KPP...
... pero las velocidades v se acercan a un número en particular: la velocidad más chica de todas las que admite la ecuación. Mostrando de paso que, de entre todas, ESA es la solución que sirve para modelar el fenómeno...
El artículo completo, acá
alea.impa.br/articles/v17/1…
Perdón por el hilo un poco zarpado. Espero sepan comprender. Buen viernes!
#TeRegaloUnTeorema
alea.impa.br/articles/v17/1…
Perdón por el hilo un poco zarpado. Espero sepan comprender. Buen viernes!
#TeRegaloUnTeorema
Nota: De lo de modelar microscópicamente el fenómeno de difusión, se ocupó un tal Einstein y produjo (otra) revolución. Te lo cuento acá
