Abbiamo visto che, in base alla speranza di vita, la nostra mente potrebbe farci credere (sbagliando) che un 82enne avrà, in media, 1 anno da vivere.
La statistica e la probabilità ci presentano numerose di queste situazioni.
Oggi parliamo del paradosso di Monty Hall.
1/n
La statistica e la probabilità ci presentano numerose di queste situazioni.
Oggi parliamo del paradosso di Monty Hall.
1/n
Ipotizzate di partecipare ad un gioco a premi.
Di fronte a voi, tre porte.
Dietro ad una porta c'è un ingente premio in denaro.
Dietro alle altre due porte, nulla.
Il conduttore vi chiede di fare la vostra scelta.
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Di fronte a voi, tre porte.
Dietro ad una porta c'è un ingente premio in denaro.
Dietro alle altre due porte, nulla.
Il conduttore vi chiede di fare la vostra scelta.
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Fate quindi la vostra scelta, indicando una porta.
Il conduttore, che sa dietro quale porta è il premio in denaro, apre una delle altre due porte e dietro di essa c'è nulla.
A questo punto il conduttore vi dà la possibilità, se lo volete, di modificare la vostra scelta.
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Il conduttore, che sa dietro quale porta è il premio in denaro, apre una delle altre due porte e dietro di essa c'è nulla.
A questo punto il conduttore vi dà la possibilità, se lo volete, di modificare la vostra scelta.
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Potete quindi o restare sulla vostra decisione, mantenendo la porta originaria, o modificarla, indicando l'altra porta ancora chiusa.
Che cosa vi conviene fare?
Restare sulla porta originaria o cambiarla?
Le vostre probabilità di vittoria cambiano se operate il cambio?
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Che cosa vi conviene fare?
Restare sulla porta originaria o cambiarla?
Le vostre probabilità di vittoria cambiano se operate il cambio?
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Ad una prima analisi potremo pensare che cambiare scelta non modificherebbe le probabilità di vittoria.
Anche un primo abbozzo di ragionamento, tirando in ballo i valori delle probabilità, sembrerebbe confermare questa ipotesi.
5/n
Anche un primo abbozzo di ragionamento, tirando in ballo i valori delle probabilità, sembrerebbe confermare questa ipotesi.
5/n
Inizialmente abbiamo 1/3 di probabilità di vincere.
Quando il conduttore toglie una delle porte perdenti, potremmo credere di avere 1/2 di probabilità di vincere.
E che cambiare o meno, a questo punto, sia ininfluente sulle chance di vittoria.
Giusto? No. Sbagliato
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Quando il conduttore toglie una delle porte perdenti, potremmo credere di avere 1/2 di probabilità di vincere.
E che cambiare o meno, a questo punto, sia ininfluente sulle chance di vittoria.
Giusto? No. Sbagliato
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La risposta breve (apparentemente controintuitiva) è che sì, ci conviene cambiare scelta e indicare l'altra porta.
Vediamo perché.
Proviamo a spiegarlo analizzando gli scenari presenti al momento in cui possiamo cambiare la nostra decisione.
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Vediamo perché.
Proviamo a spiegarlo analizzando gli scenari presenti al momento in cui possiamo cambiare la nostra decisione.
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A) Avevamo scelto la porta vincente, quindi nell'altra porta c'è nulla.
B) Avevamo scelto una delle porte perdenti, quindi nell'altra porta c'é il denaro.
C) Avevamo scelto l'altra porta perdente, quindi nell'altra porta c'é il denaro.
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B) Avevamo scelto una delle porte perdenti, quindi nell'altra porta c'é il denaro.
C) Avevamo scelto l'altra porta perdente, quindi nell'altra porta c'é il denaro.
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Nei tre scenari precedenti, cambiare porterebbe le nostre probabilità di vittoria a 2/3 mentre restare sulla scelta originale ci darebbe 1/3 di probabilità di vincere (che è la probabilità che avevamo ad inizio gioco).
Cambiare è quindi statisticamente vincente.
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Cambiare è quindi statisticamente vincente.
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Possiamo anche vederla in modo più stringato.
Cambiando la nostra decisione, ci rimettiamo solo nel caso in cui inizialmente avessimo scelto la porta vincente (1/3).
Se invece originariamente avessimo scelto il nulla (2/3), cambiare risulterebbe vantaggioso.
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Cambiando la nostra decisione, ci rimettiamo solo nel caso in cui inizialmente avessimo scelto la porta vincente (1/3).
Se invece originariamente avessimo scelto il nulla (2/3), cambiare risulterebbe vantaggioso.
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In pratica cambiare ribalterebbe le probabilità:
- inizialmente 1/3 di vittoria e 2/3 di sconfitta
- cambiando 2/3 di vittoria e 1/3 di sconfitta
Se non siete del tutto convinti, non stupitevi.
La nostra mente è in grado di fuorviarci più di quanto immaginiamo.
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- inizialmente 1/3 di vittoria e 2/3 di sconfitta
- cambiando 2/3 di vittoria e 1/3 di sconfitta
Se non siete del tutto convinti, non stupitevi.
La nostra mente è in grado di fuorviarci più di quanto immaginiamo.
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Una delle difficoltà più comuni deriva dal fatto che, intuitivamente, possiamo pensare che le scelte passate possano in qualche modo non avere rilevanza.
In sostanza ci poniamo in una condizione dove valutiamo solo il nuovo scenario e le probabilità relative ad esso.
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In sostanza ci poniamo in una condizione dove valutiamo solo il nuovo scenario e le probabilità relative ad esso.
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Quando il conduttore, dopo aver aperto una porta con nulla, ci offre la scelta di cambiare, possiamo pensare di avere di fronte due porte e che quindi mantenere la scelta originaria o cambiarla sia indifferente: 1/2 di probabilità in entrambi i casi.
In realtà non è così.
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In realtà non è così.
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Possiamo rendercene conto con un semplice ragionamento.
Ipotizziamo che il giocatore non cambi mai la propria scelta.
Le chance di vittoria sono originariamente di 1/3 e, chiaramente, non aumentano quando il conduttore gli offre una scelta che lui, forse, neanche ascolta.
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Ipotizziamo che il giocatore non cambi mai la propria scelta.
Le chance di vittoria sono originariamente di 1/3 e, chiaramente, non aumentano quando il conduttore gli offre una scelta che lui, forse, neanche ascolta.
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Considerare il passato ininfluente ci porta a pensare che, al momento della possibilità di cambiare, parta un gioco nuovo con due porte e un premio.
Non è così. Il gioco continua e, se non operassimo il cambio, non sfrutteremmo la nuova informazione fornita dal conduttore.
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Non è così. Il gioco continua e, se non operassimo il cambio, non sfrutteremmo la nuova informazione fornita dal conduttore.
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Il passato non è sempre influente.
Se tiriamo una moneta ad esempio non ha rilevanza. Questo perché l'evento passato non modifica le probabilità che avvenga l'evento futuro.
Se esce testa un certo numero di volte, la probabilità che esca nel prossimo lancio è sempre 1/2.
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Se tiriamo una moneta ad esempio non ha rilevanza. Questo perché l'evento passato non modifica le probabilità che avvenga l'evento futuro.
Se esce testa un certo numero di volte, la probabilità che esca nel prossimo lancio è sempre 1/2.
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Nel nostro caso invece il passato è rilevante visto che il conduttore toglie dal campo una scelta sicuramente perdente; la scelta rimanente, quindi, diventa più "appetibile" di quanto non fosse prima dello scarto.
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Ad alto livello, questo tipo di approccio è lo stesso che si adopera quando si "contano le carte" in alcuni giochi come il Black Jack.
Il fatto che in caso di mazzi multipli una carta sia già uscita, riduce le probabilità che esca nuovamente e aiuta a "predire" cosa uscirà.
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Il fatto che in caso di mazzi multipli una carta sia già uscita, riduce le probabilità che esca nuovamente e aiuta a "predire" cosa uscirà.
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Add-on vari.
Da un punto di vista matematico, il Teorema di Bayes aiuta a comprendere il paradosso di Monty Hall in maniera esplicita.
Il paradosso (o dilemma) di Monty Hall è conosciuto con vari nomi e diverse scenografie ma il concetto resta lo stesso.
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Da un punto di vista matematico, il Teorema di Bayes aiuta a comprendere il paradosso di Monty Hall in maniera esplicita.
Il paradosso (o dilemma) di Monty Hall è conosciuto con vari nomi e diverse scenografie ma il concetto resta lo stesso.
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Nel film "21" Kevin Spacey enuncia proprio questo (apparente) paradosso, legandolo proprio al gioco del Black Jack.
Se volete contare le carte a Black Jack (metodo Hi Lo), oltre a rischiare grosso sappiate che ormai non funziona più; i maschi vengono mescolati.
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Se volete contare le carte a Black Jack (metodo Hi Lo), oltre a rischiare grosso sappiate che ormai non funziona più; i maschi vengono mescolati.
20/n
Avrete notato collegamento con il tema speranza di vita affrontato in altro thread.
In entrambi gli scenari, il passato "modifica" gli avvenimenti futuri migliorandoli.
Qui migliorano le probabilità di vittoria.
Lì migliora la speranza di vita.
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In entrambi gli scenari, il passato "modifica" gli avvenimenti futuri migliorandoli.
Qui migliorano le probabilità di vittoria.
Lì migliora la speranza di vita.
https://twitter.com/diabolicus23/status/1329763199261044737?s=20
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Per chi ha la curiosità di vedere come il tema viene presentato da Kevin Spacey, ecco qui.
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