Thread by @pacmannai

Pilihan lain selalu terlihat lebih baik daripada pilihan kita?
.
.
.
A Thread

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada 2 pilihan dimana tidak jarang kita bingung untuk memilih mana pilihan yang terbaik

Untuk mengambil pilihan terbaik, pastinya kita perlu pertimbangan yang matang dan tidak boleh terburu-buru dalam mengambil keputusan supaya kita tidak menyesali keputusan tersebut

Selain kata hati dan intuisi manusia itu sendiri, salah satu tools yang dapat digunakan sebagai pertimbangan sebuah keputusan adalah statistik

Disini statistik berperan sebagai penguat decision apa yang diambil berdasarkan fakta-fakta yang ada dan hal rasional lainnya

Salah satu contohnya adalah dalam “Two Envelopes Problem” nih gais. Jadi ceritanya seperti ini

Suatu hari kamu sedang bertemu dengan teman kamu, kamu kaget karena dia membawa 2 amplop dan menawarkan kamu untuk mengambil salah satu amplop

Dia bilang bahwa 2 amplop tersebut berisikan uang dan uang pada salah satu amplop lebih besar 2 kali lipat dari amplop lainnya. Disini kamu harus memilih nih amplop mana yang mau kamu pilih

Kedua amplop ini memiliki probabilitas yang sama buat kamu pilih ya, 50% memilih amplop 1 dan 50% memilih amplop 2

Nah ceritanya kamu memilih amplop 1, tetapi sebelum kamu membuka amplop tersebut, tiba-tiba teman kamu bertanya

“Kamu yakin mau ambil amplop ini? Kalau kamu masih ragu, kamu boleh tukar kok!”

Disini kamu langsung berpikir nih, masa iya amplop yang kamu ambil isinya lebih kecil daripada amplop 2?

Karena sudah belajar statistika, langsung deh kamu menghitung ekspektasi nilai uang di amplop 2, biar tambah yakin lagi sama pilihan sendiri

Misalkan uang di amplop kita adalah variabel random X, berarti uang di amplop 2 hanya mungkin 2X atau ½X dong ya sesuai sama perkataan teman kita tadi. Dan juga kemungkinannya berarti hanya 50% 50% untuk 2X atau ½X

Berarti ekspektasi nilai uang di amplop 2 nggak sulit untuk dihitung dong ya :D

½ (2X) + ½ (½X) = X + ¼X = 1.25X

Wah nilai ekspektasi uang di amplop satunya 1.25X?! Berarti harapannya uang di amplop 2 lebih besar 1.25 kali dari uang di amplop kita dong??

Tapi nih, kamu juga berpikir lagi, misalnya kamu berubah pikiran dan mengambil amplop 2. Saat kamu menghitung lagi ekspektasi uang di amplop 1, pasti akan didapat ekspektasi uang sebesar 1.25 kali uang di amplop 2

Dan perhitungan ini akan selalu menghasilkan hasil yang sama untuk penukaran amplop berapa kali pun..

Loh loh.. jadi uang di amplop mana dong yang lebih besar? Kenapa ekspektasi uang di amplop yang tidak kita pilih selalu lebih besar?!

Etss tenang dulu,, kira-kira udah pada tau belum ini salahnya dimana?? Atau malah jadi pusing :((

Jadi gini gais, sebenarnya hitungan tadi itu benar benar saja, tetapi hasil perhitungan tersebut menjadi tidak masuk akal ketika asumsi yang kita gunakan adalah asumsi yang salah

Pada hitungan tadi, kita mengasumsikan bahwa probabilitas uang pada amplop lainnya berisi 2X atau ½X adalah sama yaitu 50% 50%

Padahal asumsi tersebut tidak dapat kita pakai, sebenarnya bisa-bisa aja sih tapi akan nggak masuk akal dengan kondisi yang ada. Kira-kira begini penjelasannya

Misalkan uang pada amplop 1 kita sebut variabel random X. Nilai yang mungkin untuk X pasti berkisar antara 0 sampai tak hingga dong ya, karena misalkan isi amplop lain adalah 1 maka amplop 1 (X) pasti berisi 2 atau ½. Atau misalkan amplop lain berisi 4 maka X pasti 8 atau 2

Dengan pemahaman ini juga, berarti nilai yang mungkin untuk X adalah dari 2 pangkat min tak hingga sampai 2 pangkat tak hingga. Serta dengan asumsi tadi, probabilitas masing-masing nilai terpilih adalah sama

Dengan distribusi ini, kira-kira berapa probabilitasnya? Misalkan Pr(1/1000 < X < 1000)?

Jika kalian hitung pasti probabilitasnya adalah 0. Karena dari distribusi tadi yang nilainya lebih besar dari 1/1000 dan lebih kecil dari 1000 hanya ada 19 kemungkinan dari tak hingga kemungkinan yang ada (2^-9, 2^-8, …, 2^9) sehingga 19 / tak hingga = 0

Jadi kalau kita telusuri probabilitas X mengandung bilangan tak hingga yang bukan 0 adalah pasti 0 (banyaknya kemungkinan dibagi tak hingga kemungkinan = 0)

Oleh karena itu, X hanya dapat bernilai 0 atau tak hingga saja yang memenuhi. Nah inilah efek dari asumsi awal kita jika probabilitas masing-masing nilai terpilih adalah sama

Lalu hubungan dengan ekspektasi 1.25X diawal apa dong min? 😕

Ekspektasi uang pada amplop lain adalah 1.25X jika asumsi tersebut kita pakai. Atau dengan kata lain hanya dapat terpenuhi jika X bernilai 0 atau tak hingga saja

0 = 1.25 * 0
Tak hingga = 1.25 * tak hingga

Benar kan?

Asumsi ini tidak bisa kita pakai karena pada kondisi awal teman kita sudah bilang bahwa pada amplop tersebut berisi uang, tidak mungkin 0 (kosong) atau tak hingga uang didalamnya

Lalu jika asumsi tersebut tidak bisa kita pakai, berarti untuk menghitung nilai ekspektasinya kita harus memperhatikan lagi distribusi dari uang tersebut untuk mengetahui probabilitas nilai uang pada amplop tersebut

Jadi kalau mimin ringkas lagi nih, jika probabilitas nilai uang pada amplop lainnya sama besar dan kamu sudah tahu uang di amplop kamu, lebih baik tukar karena ekspektasi uang pada amplop lainnya 1.25 lebih besar daripada uang di amplop kamu

Tapi kalau probabilitas nilai uang nya berbeda, kamu harus memperhitungkan distribusi uang tersebut ~~

Pemahaman yang lebih keren tentang statistik bakalan kamu dapat jika kamu mendaftar di kelas statistical modeling di non-degree program Data Scientist. Yuk buruan daftarin diri kamu di bit.ly/PendaftaranNon… , masih ada promo PAYDAYFEB lohh. Sampai ketemu di kelas nantii!

Referensi
dpye.iimas.unam.mx/federico/twoen… sites.math.washington.edu/~morrow/336_15…