#超算数 高校の教科書でも説明が結構雑い。
「式」という用語はひどく曖昧で、
* 1/x と (x + 1 - x)/x と (x-1)/(x(x-1)) は「式」として等しいのか？
という問いにこの教科書の読者は答えることができないと思う。
検定329 数研 新編数学II p.17
「式」という用語はひどく曖昧で、
* 1/x と (x + 1 - x)/x と (x-1)/(x(x-1)) は「式」として等しいのか？
という問いにこの教科書の読者は答えることができないと思う。
検定329 数研 新編数学II p.17
https://twitter.com/limgtw/status/1376244491158388737
#超算数 最近の例の話題との関連では
* 1/x と (x + 1 - x)/x と (x-1)/(x(x-1)) は「式」として等しいのか？
だけではなく、
* 等しい「式」を函数とみなすときの定義域はいつも同じになるのか？
とも問いたい。
教科書の説明がひどく曖昧な問題は我々が指摘して来たことの1つ。
* 1/x と (x + 1 - x)/x と (x-1)/(x(x-1)) は「式」として等しいのか？
だけではなく、
* 等しい「式」を函数とみなすときの定義域はいつも同じになるのか？
とも問いたい。
教科書の説明がひどく曖昧な問題は我々が指摘して来たことの1つ。
#超算数 数学的本質を捉えた高校生の答案には難癖をつけるが、中高の数学の教科書の説明が不明瞭な点について何も問題にしない。
さすがにそれはまずいと思います。
(下手をすれば教科書に書いてあることと違うことをやっているから減点すると言い出しかねないのではないか？)
さすがにそれはまずいと思います。
(下手をすれば教科書に書いてあることと違うことをやっているから減点すると言い出しかねないのではないか？)
#超算数 はい、教科書に、恒等式でない等式は方程式になるかのような【補足】がついています。ひどい❗️
恒等式でない等式であっても、単に成立していない多項式の等式扱いをする場合があります。
余談：「x=xを満たす実数xの全体を求めよ」は立派な方程式の問題です。
恒等式でない等式であっても、単に成立していない多項式の等式扱いをする場合があります。
余談：「x=xを満たす実数xの全体を求めよ」は立派な方程式の問題です。
https://twitter.com/LimgTW/status/1376256055974359041
#超算数 「方程式」に関する補足は「ひどい❗️」のですが、赤線を引いた雑な部分はそんなにひどくはない。雑な説明で済ませざるを得ない場合はよくあるので、雑なこと自体はひどくない。
ひどいのは、教科書が雑なことを見逃して、中高生の側に厳しく当たることです。例の件はそういう意味でひどい。
ひどいのは、教科書が雑なことを見逃して、中高生の側に厳しく当たることです。例の件はそういう意味でひどい。
#超算数 「その両辺に値が存在する限り、含まれている文字にどのような値を代入しても」成り立つ等式を「恒等式」と呼んでいるようです。
この説明だけだと、色々曖昧です。
数学的に厳密な説明にしたければ、代入の操作を集合から集合への写像として明瞭に定義しなければいけません。
この説明だけだと、色々曖昧です。
数学的に厳密な説明にしたければ、代入の操作を集合から集合への写像として明瞭に定義しなければいけません。
#超算数 これって、複素数も代入しちゃっていいということなんですかね？
例えば
a/(x-1) + b/(x+1) + (cx+d)/(x²+1) = 1/(x⁴-1)
のようなケースでは分母を払って、x=±1,±iを代入すると計算が楽です。
教科書の側はこういう類の疑問が生じても仕方がない説明になっている。
例えば
a/(x-1) + b/(x+1) + (cx+d)/(x²+1) = 1/(x⁴-1)
のようなケースでは分母を払って、x=±1,±iを代入すると計算が楽です。
教科書の側はこういう類の疑問が生じても仕方がない説明になっている。
#超算数 あと、引用されているページの範囲内には、「恒等式であること」=「多項式函数として等しいこと」から「多項式として等しいこと」が出ることの証明が書かれていません。証明せずに使うという方針に見えます。
教科書がこんな感じなので、高校生相手に厳密な議論を要求するのは無理でしょう。
教科書がこんな感じなので、高校生相手に厳密な議論を要求するのは無理でしょう。
https://twitter.com/limgtw/status/1376256055974359041
#超算数 例えば、
a/x + b/(x-1) = (x+1)/(x(x-1))
↓
a(x-1) + bx = x + 1
として、xに具体的な数(例えば0や1(笑))を代入する計算なども行ってみて、cx+d=c'x+d'が「恒等式」ならばc=c', d=d'となることをより深く納得するかもしれない。
a/x + b/(x-1) = (x+1)/(x(x-1))
↓
a(x-1) + bx = x + 1
として、xに具体的な数(例えば0や1(笑))を代入する計算なども行ってみて、cx+d=c'x+d'が「恒等式」ならばc=c', d=d'となることをより深く納得するかもしれない。
#超算数 基本概念の説明が雑であったとしても、扱っている題材の数学的本質に関係するアイデアを大事にすることはできます。
例えば
a/x + b/(x-1)
ではx=0,1が特別な点になっていて、x=0,1をうまいこと利用することは、「極や零点に注目するとよい」という普遍的なアイデアに繋がっています。
例えば
a/x + b/(x-1)
ではx=0,1が特別な点になっていて、x=0,1をうまいこと利用することは、「極や零点に注目するとよい」という普遍的なアイデアに繋がっています。
#超算数 そういう普通の数学の理解の仕方をしていれば、
a/(x-1)+b/(x+1)=2/(x²-1)
の分母を払ってx=±1を代入する答案を書いた高校生を腐らせるような難癖をつけることは数学教育的には大変な悪だと言わざるを得ません。
a/(x-1)+b/(x+1)=2/(x²-1)
の分母を払ってx=±1を代入する答案を書いた高校生を腐らせるような難癖をつけることは数学教育的には大変な悪だと言わざるを得ません。
#超算数 中高生の野生の答案や疑問にノータイムで適切にコメントするのは恐ろしく難しそうなことですよね。
私は数学の教養的にそういうことをできる自信は全くない。(前もそう言った。)
「明日まで待って。考えて来るから」のようになる場面は稀ではないと思う。明日で済めばいいが…。
私は数学の教養的にそういうことをできる自信は全くない。(前もそう言った。)
「明日まで待って。考えて来るから」のようになる場面は稀ではないと思う。明日で済めばいいが…。
https://twitter.com/tsatie/status/1376519489475420167
#超算数 ものすごく色々な数学があるので、中高生が一見めちゃくちゃをやっているようで、自分が知らない数学と関係しているかもしれない。
現実には「悪いけど、私の教養の範囲内でしかコメントできないからね」ということにするしかなさそう。
現実には「悪いけど、私の教養の範囲内でしかコメントできないからね」ということにするしかなさそう。
• • •
Missing some Tweet in this thread? You can try to
force a refresh
