Thread by @genkuroki

わざわざ調べてコメントして下さって参考になりました。

「多項式」を「整式」と呼ぶことがローカルルールであることはよく知られていると思いますが、「有理関数」が「有理式」と同じ意味で、どちらも多項式環の商体の要素を意味することが普通になっていることは、まだ広く知られていないと。

https://twitter.com/tsatie/status/1376529445700259845

あと、代入の操作が多くの場合に環の準同型写像(など)になっていることも、高校生に数学を教えている人達に広く知られていないかもしれないのかな、と思いました。

例えば、体Kとその拡大体Lとその元α∈Lに対して、f(x)∈K[x]にf(α)∈Lを対応させる写像K[x]→Lは環の準同型写像写像になっています。

例の続き。さらに、a∈Kとaと異なるα∈Lに対して、f(x)∈K[x, 1/(x-a)]をf(α)∈Lに対応させる写像K[x, 1/(x-a)]→Lもwell-definedな環準同型写像になっています。

x-a以外に可能な分母の種類を増やしても、同様にしてwell-definedな環準同型写像を「代入」という操作で作れます。

どこまでも証明の細かいことを気にするなら、代入という操作が環の準同型写像になっていることも意識しないと厳密さに欠けた議論になります。

例えば、体Kと多項式f(x)∈K[x]とa∈Kが与えられているとき、f(x)は

f(x)=(x-a)g(x)+r, g(x)∈K[x], r∈K

と一意に書けます。両辺のxにaを代入した結果を

f(a)=(a-a)g(a)+r

と書くときには暗黙のうちに代入の操作が環準同型(たし算とかけ算を保つこと)を使っています。続く

xにaを代入する操作が定める写像K[x]→Kをφ書いたとすると、f(x)=(x-a)g(x)+rの両辺のxにaを代入した結果は

φ(f(x))=φ((x-a)g(x)+r)

となり、左辺はφの定義よりf(a)になりますが、右辺を

φ((x-a)g(x)+r)=φ(x-a)φ(g(x))+φ(r)=(a-a)g(a)+r

と変形するときには、φの環準同型性を使います。続く

要するに高校の数学の教科書にある剰余定理を使った因数定理の証明には、代入操作が環準同型写像になっていることを実質的に使っているとみなせるのです。

すぐに「減点」とか言い出す前に以上で述べたようなことを教える側が理解しておいた方がよいと思います。

高校生向けの教科書に限らず、大学生向けの教科書(しかも理学部数学科向けの教科書)であっても、雑に書いた部分が皆無の教科書など書けないと思います。

仮に雑な部分が皆無な教科書を書けたとしても学生にとって親切な教科書になりそうもない。

だから私はある程度雑なのは仕方がないと言いたい。

以上の準備をもとにこういう「嫌み」を言っておきたい！

　教科書にある因数定理の証明も減点した方がいいんじゃない？

この手の話題で減点したりしなかったりすることの根拠として高校の教科書を引用した人達は、数学がどういう分野であるかについてひどく誤解していると思う。