Thread by @genkuroki

#数楽 私の線形代数のノート(問題集の形式、多分まだ公開していない)から関連する部分のスクショを貼り付けます。

多項式のユークリッドの互助法(最大公約多項式を多項式係数一次結合で作れること)と有理函数の部分分数展開とLagrange(-Sylvester)補間公式は本質的に同じ話題。

1/8～4/8

https://twitter.com/genkuroki/status/1376065980888064004

#数楽 多項式のユークリッドの互助法(最大公約多項式を多項式係数一次結合で作れること)と有理函数の部分分数展開とLagrange(-Sylvester)補間公式は本質的に同じ話題であることの続き。

5/8～8/8

#数楽 例：互いに異なるα_1,…,α_n∈ℂについて、f(x)=(x-α_1)…(x-α_n)とおき、p(x)をn-1次以下の複素多項式とするとき、

p(x)/f(x)=a_1/(x-α_1)+…+a_n/(x-α_n) in ℂ(x)

を満たすa_i∈ℂ達は、両辺にf(x)をかけて、xにα_iを代入することを経由して、

a_i=p(α_i)/f'(α_i)

で求められる(一意的)。

#数楽 この結果の「両辺にf(x)をかけた場合」は、複素数b_1,…,b_nから、

f_i(x)=f(x)/(x-α_i)∈ℂ[x]

a_i=b_i/f_i(α_i)=b_i/f'(α_i)

p(x)=a_1 f_1(x) + … + a_n f_n(x)

で(α_i, b_i)達を補間する多項式p(x)を作る話(Lagrange補間の話)になっている。

上の方のスクショはこれの一般化の話。

#数楽 こういう類の話に繋がる解き方を高校生がしていた場合には、それがたとえ偶然であっても、きちんと褒めてあげて、褒めた数学的理由も説明してあげた方が親切だと思います。

#数楽 上の話(以下のリンク先)は複素解析を使っても簡単に示せます。純代数にこだわる必要はない。

あーやっても、こーやっても、そーやってもできる。

そしてそういう経験を通して「一見違う話に見えて実際には全部同じ」と理解できる。

私はこういうことがとてもうれしいと思います。

https://twitter.com/genkuroki/status/1376774473001541633

#数楽 添付画像は以下のリンク先のリンク先からの孫引き。検定329 数研 新編数学II p.21

こういう高校の教科書にある部分分数展開の問題は、Lagrange補間の話の特別な場合になっています。

分母に(x-1)², (x-1)³, …などが含まれる場合まで一般化すると、1変数の多項式や有理函数の本質に迫れる。

https://twitter.com/genkuroki/status/1376513535795101698

#数楽 高校の数学の教科書に載っている例達には十分に面白いものが多いです。しかし、どこがどう面白いかについては教科書にはまったく書かれていないので、色々注意が必要だと思います。

#数楽 教える側は、応用例題2や練習21の解き方を教科書通りに教えられるだけではなく(それだけだとつまらない！)、ラグランジュ補間や複素解析との関連についても理解していれば、より適切な概念の位置付けをやり易くなると思います。

もちろん教科書の雑な部分は教える側が埋めてあげる。

#数楽 教科書の応用例題2を解くときに、分母を払った直後にx=-1,-2を代入してa,bを求める計算は、「x=-1,-2でそれぞれで値2,3」の場合のラグランジュの補間公式でx+3を表示する計算になる。

高校生が偶然そういう解き方をしたときには、無茶な難癖を付けずに、数学的な事柄をきちんと教えるべき。

#数楽 大学で進んだ線形代数に習うと、なぜか(笑)講義で多項式のユークリッドの互助法の話を詳しくやることになります。

多項式達f_1(x),…,f_n(x)の最大公約多項式g(x)をある多項式a_1(x),…,a_n(x)によって、

a_1(x)f_1(x)+…+a_n(x)f_n(x)=g(x)

と表せることを空気の如く使うようになる。

#数楽 線形代数で特によく使うのは互いに異なるα_i達に関する

f(x) = (x-α_1)^{e_1} … (x-α_n)^{e_n}
f_i(x) = f(x)/(x-α_i)^{e_i}

の場合です。f_i(x)達は割り切れて多項式になっており、それらの最大公約多項式は1です。

続く

#数楽 だから、ある多項式達a_i(x)で

a_1(x)f_1(x)+…+a_n(x)f_n(x)=1

を満たすものが存在します。

こういう場合に当然考えるべき問題は

* そのような a_i(x) 達を表す公式を作れないか？

これの答えは本質的にLagrange-Sylvester補間の話そのものになります。もちろん複素解析を使ってもよい

数学教育の話題なのに「採点基準」の話題にこだわることはひどく不健全で有害。

色々な事情で雑に書かれている高校の数学の教科書を引用して「だから答案で〇〇を無断で{使ってよい, 使ってはいけない}」と判断する行為は論外だと思います。

数学がそのような分野ではないことはとても大事。

教科書が様々な事情によって雑に書かれていても、教える側が気を付けていれば、数学的に重要な事柄を理解することへの困難を減らすことができると思います。

逆に、教科書が雑に書かれていることを無視して高校生などの答案に機械的に冷たい態度を取ることは、ひどく有害だと思います。