Esta es la historia de cómo pensé por un momento que había resuelto uno de los grandes problemas en matemáticas: encontrar una fórmula cerrada para la 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐀𝐩𝐞́𝐫𝐲: la función Zeta de Riemann evaluada en 3, ζ(3).
¡Abro hilo!🧵
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Antes que nada, todo lo que voy a resumir en este hilo lo podéis encontrar mucho más detallado de forma gratuita en la revista TEMat: temat.es
El artículo es: "Algunas fórmulas cerradas para productos infinitos y su relación con la función zeta de Riemann."
El artículo es: "Algunas fórmulas cerradas para productos infinitos y su relación con la función zeta de Riemann."
Resulta que tras estudiar la convergencia de productos infinitos en mi TFG, me interesé por los productos infinitos de la imagen.
¿Por qué? Porque mi intención era generalizar la representación del producto infinito de Euler para el seno, pero cambiando ese "elevado a 2" por un k cualquiera mayor que 2.
Demostré que hay una fórmula cerrada para estos productos usando la función Gamma de Euler.
Llamaré a esta igualdad (1)
Llamaré a esta igualdad (1)
Y esto me sorprendió, puesto que esta fórmula que acababa de demostrar podría servirme para relacionarla con la función Zeta de Riemann. Por ejemplo, para k=3, si desarrollamos el producto de la izquierda, tenemos algo así, donde aparece la constante de Apéry ζ(3):
Por lo que si conociese el desarrollo de Taylor del inverso de la función Gamma, usando la igualdad (1), podría desarrollar lo de la derecha y ver qué término correspondía al coeficiente x³, lo cuál nos daría una fórmula cerrada para la constante de Apéry.
¿Y cuál es la sorpresa? Solo se conocen los 3 primeros coeficientes del desarrollo de Taylor de la función inverso de Gamma, y por tanto no hay forma (de momento) de obtener lo que buscaba. De lo poco se se sabe, se conoce que ζ(3) es irracional (1979).
Y es muy curioso, puesto que SÍ se puede obtener una fórmula cerrada para ζ(2k). Y eso también se deduce aplicando la fórmula de reflexión de Euler para la función Gamma en la expresión (1), llegando al siguiente resultado:
Ahora, como solo depende de senos, de los cuáles SÍ conocemos todo su desarrollo de Taylor de forma cerrada, entonces SÍ podemos obtener ζ(2k) también de forma cerrada.
Mi director de TFG nunca había visto la expresión (1) en ningún sitio, así que decidimos consultar con expertos, pero resulta que alguien ya la había demostrado en 1986. ¡Una lástima! :(
Me ha faltado un z multiplicado aquí :)
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