Thread by @BMauschen

Okay, machen wir mal was cooles: Etwas das ich Studis diese Woche erklärt habe und das mit Mathe und Physik zu tun hat:
Warum #Differentialgleichungen super spannend sind - und fast ohne Rechnen zu müssen, okay? (1/12)

Erstmal: Was sind Differentialgleichungen? Das sind Gleichungen, bei denen ein Wert und eine seiner Ableitungen mit einander in Bezug gesetzt werden. Klingt Abstrakt, aber wenn man sich klarmacht, dass Ableitungen in der Physik meist die Änderung eines Werts über die Zeit (2/n)

darstellen, kann es ganz anschaulich werden:
Eine Geschwindigkeit ist eine Änderung des Orts mit der Zeit, also die Ableitung der Strecke. Eine Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit, also die erste Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite (3/n)

Ableitung der Strecke.
Und jetzt gibt es Fälle, in denen Werte und ihre Ableitungen zusammenhängen. Zum Beispiel hängt die Änderung der Coronafälle (Neuinfektionen) direkt mit der Zahl der schon Infizierten zusammen - klar: je mehr es haben, desto mehr neue können sie (4/n)

anstecken, also:

Neuinfektionen (Ableitung der Fälle) = x * Fälle

Ein anderes Beispiel wäre ein Pendel, da ist die Kraft, mit der das Pendel in die Mitte zurückgezogen wird abhängig davon, wie weit das Pendel ausgelenkt ist. Und da Kraft = Masse mal Beschleunigung, folgt (5/n)

2. Ableitung der Auslenkung = -x * Auslenkung
(Das Minus weil die Kraft der Auslenkung entgegenwirkt)

Soweit so gut, ist erstmal eine Spielerei, oder? Jetzt kommt der große Gag: Wir wissen nämlich, wie sich Funktionen beim Ableiten verhalten und es gibt nur wenige (6/n)

Funktionen, bei denen die Funktion und ihre Ableitung sich nur um einen Faktor unterscheiden. Die einfachsten sind:
* Exponentialfunktionen, bei denen die Ableitung direkt proportional zur Funktion ist
* Sinus und Cosinus, bei denen die zweite Ableitung proportional zu minus(7/n)

der Funktion ist.
Und jetzt kommt der "mind blown"-Moment: Allein mit dem Wissen, kann ich Dinge vorhersagen:

Solange für Corona gilt "Neuinfektionen (Ableitung der Fälle) = x * Fälle", gibt es nur eine Funktion, die das Geschehen beschreibt: Eine Exponentialfunktion! (8/n)

Und das heisst, dass das Wachstum nur abbricht, wenn sich die Regeln ändern!

Oder für das Pendel, wo "2. Ableitung der Auslenkung = -x * Auslenkung" nur durch eine Sinus oder Cosinus-Funktion erfüllt wird und wir deshalb vorhersagen können, dass es eine Schwingung ausführen(9/n)

wird - alles nur aus ein paar einfachen Grundannahmen und etwas Mathe!

Und natürlich sind echte Systeme meist viel komplexer, aber auch das kann man dann oft noch ganz gut vorhersagen, zum Beispiel ergibt ein Pendel mit Reibung eine Sinuskurve mal einer abnehmenden (10/n)

Exponentialfunktion und damit eine gedämpfte Schwingung oder ein Wachstum mit beschränkten Ressourcen eine Verknüpfung einer wachsenden und einer fallenden Exponentialfunktion und dann eine logistische oder Gompertz-Kurve.
Das wird dann schnell viel komplizierter, aber die (11/n)

Grundidee bleibt die gleiche, ist die Basis der allermeisten Modellierungen, vom Grundprinzip gar nicht so schwer verständlich und in meinen Augen eines der coolsten Werkzeuge quantitativer Wissenschaft!
Mäuschen Out 🐭 (12/12)